1. teža simulacija državnog natjecanja 2020.

1. teža simulacija državnog natjecanja 2020. - zadaci

Mladi nadareni matematičari Marin Getaldić

20. listopada 2020.

1. teža simulacija državnog natjecanja 2020. - rješenja

1. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 1

Dokažite da se za svaki $n\geq 5$ , brojevi $1 , 2, \ldots, n$ mogu raspodijeliti u dvije grupe takve da je suma elemenata u jednoj grupi jednaka umnošku elemenata druge grupe.

1. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 2

Dokažite da za sve realne brojeve $x,y,z$ vrijedi $\frac{y^2 - x^2}{2x^2 + 1} + \frac{z^2 - y^2}{2y^2 + 1} + \frac{x^2 - z^2}{2z^2 + 1} \geqslant 0.$

1. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 3

Pronađi sve proste brojeve $p$ i prirodne brojeve $n$ koji zadovoljavaju jednadžbu $p(p-1) = 2(n^3-1).$

1. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 4

Na kružnici je nasumično postavljeno $n$ bijelih i $n$ crnih kuglica. Počevši od proizvoljne bijele kuglice, u smjeru kazaljke na satu sve bijele kuglice su redom označene brojevima $1 , 2 , \ldots , n$ . Na isti način su i sve crne kuglice označene brojevima $1 , 2, \ldots, n$ u smjeru suprotno od kazaljke na satu. Dokaži da postoji niz od $n$ uzastopnih kuglica koje su označene brojevima $\{ 1 , 2, \ldots , n \}$ u nekom redoslijedu.

1. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 5

Dan je $\triangle ABC$ i točka $A'$ simetrična točki $A$ s obzirom na stranicu $BC$ . Neka su $P$ i $Q$ točke na stranicama $AB$ i $AC$ , redom, takve da je $PA' = PC$ i $QA'=QB$ . Dokaži da okomica iz $A'$ na $PQ$ prolazi središtem opisane kružnice $\triangle ABC$ .