Općinsko natjecanje 2005 SŠ4 3
Dodao/la:
arhiva2. travnja 2012. Zadan je rastav skupa prirodnih brojeva:
![\mathbb{N}= \{1\}\cup\{2,3\}\cup\{4,5,6\}\cup\{7,8,9,10\}
\cup\{11,12,13,14,15\}\cup\ldots](/media/m/7/7/6/776082d1d3b2bdf085ac2529a26b61e7.png)
Ako je
![S_k](/media/m/3/0/e/30eaf9f6afeda7152a50b70c5613b6d8.png)
zbroj svih
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
brojeva u
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
-tom skupu iz gornjeg rastava, dokažite da vrijedi
![S_1 + S_3 + S_5 + \ldots + S_{2n-1} = n^4](/media/m/7/9/5/795e494091b2c9324eaf0aa7df1265a5.png)
za svaki prirodni broj
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
.
%V0
Zadan je rastav skupa prirodnih brojeva: $$
\mathbb{N}= \{1\}\cup\{2,3\}\cup\{4,5,6\}\cup\{7,8,9,10\}
\cup\{11,12,13,14,15\}\cup\ldots
$$
Ako je $S_k$ zbroj svih $k$ brojeva u $k$-tom skupu iz gornjeg rastava, dokažite da vrijedi $$
S_1 + S_3 + S_5 + \ldots + S_{2n-1} = n^4
$$ za svaki prirodni broj $n$.
Izvor: Općinsko natjecanje iz matematike 2005