Državno natjecanje 2002 SŠ3 1
Dodao/la:
arhiva1. travnja 2012. U trokutu
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
kutovi
![\alpha=\angle BAC](/media/m/2/9/f/29f03256cbab6af35d0d62ef06d8845d.png)
i
![\beta = \angle CBA](/media/m/4/7/f/47f002ed8120cd22e92d09e2b0cb6ad6.png)
su šiljasti. S vanjske strane trokuta nad stranicama
![\overline{AC}](/media/m/d/9/5/d95354f0f833a5fda9c16a01a878c14f.png)
i
![\overline{BC}](/media/m/8/8/1/8818caad7d36e134c54122cbf46f1cd9.png)
, kao bazama, konstruirani su jednakokoračni trokuti
![ACD](/media/m/0/b/1/0b171034d79122bd02f64bc8f6ae94dd.png)
i
![BCE](/media/m/b/d/0/bd0a872febc285929044d2c5126a6005.png)
s vršnim kutovima
![\angle ADC = \beta](/media/m/e/3/9/e39331b192a54d1bbbc3d587ac060c80.png)
, odnosno
![\angle BEC = \alpha](/media/m/d/3/a/d3a6d7cf68c46f5ee7253df66d719196.png)
. Neka je
![O](/media/m/9/6/0/9601b72f603fa5d15addab9937462949.png)
središte kružnice opisane trokutu
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
. Dokažite da je
![|DO| + |EO|](/media/m/5/6/6/566fac836278f26e6877e609ff1f5689.png)
jednako opsegu trokuta
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
ako i samo ako je
![\angle ACB](/media/m/2/b/8/2b827c330f4f220b112b928e106c0a00.png)
pravi.
%V0
U trokutu $ABC$ kutovi $\alpha=\angle BAC$ i $\beta = \angle CBA$ su šiljasti. S vanjske strane trokuta nad stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$, kao bazama, konstruirani su jednakokoračni trokuti $ACD$ i $BCE$ s vršnim kutovima $\angle ADC = \beta$, odnosno $\angle BEC = \alpha$. Neka je $O$ središte kružnice opisane trokutu $ABC$. Dokažite da je $|DO| + |EO|$ jednako opsegu trokuta $ABC$ ako i samo ako je $\angle ACB$ pravi.
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 2002