Državno natjecanje 2013 SŠ3 4
Dodao/la:
arhiva12. srpnja 2013. Neka je
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
šiljastokutni trokut i
![H](/media/m/4/c/0/4c0872a89da410a25f00b86366efece7.png)
njegov ortocentar. Pravac kroz točku
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
okomit na
![\overline{AC}](/media/m/d/9/5/d95354f0f833a5fda9c16a01a878c14f.png)
i pravac kroz točku
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
okomit na
![\overline{BC}](/media/m/8/8/1/8818caad7d36e134c54122cbf46f1cd9.png)
sijeku se u točki
![D](/media/m/7/0/0/7006c4b57335ab717f8f20960577a9ef.png)
. Kružnica sa središtem u točki
![C](/media/m/5/a/b/5ab88f3f735b691e133767fe7ea0483c.png)
koja prolazi točkom
![H](/media/m/4/c/0/4c0872a89da410a25f00b86366efece7.png)
siječe kružnicu opisanu trokutu
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
u točkama
![E](/media/m/8/b/0/8b01e755d2253cb9a52f9e451d89ec11.png)
i
![F](/media/m/3/e/8/3e8bad5df716d332365fca76f53c1743.png)
.
Dokaži da vrijedi
![|DE|=|DF|=|AB|](/media/m/4/0/c/40ce63c58f418f92b252f7fa90752044.png)
.
%V0
Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut i $H$ njegov ortocentar. Pravac kroz točku $A$ okomit na $\overline{AC}$ i pravac kroz točku $B$ okomit na $\overline{BC}$ sijeku se u točki $D$. Kružnica sa središtem u točki $C$ koja prolazi točkom $H$ siječe kružnicu opisanu trokutu $ABC$ u točkama $E$ i $F$.
Dokaži da vrijedi $|DE|=|DF|=|AB|$.
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 2013