Državno natjecanje 2009 SŠ3 4
Dodao/la:
arhiva1. travnja 2012. Neka je
![n \in \mathbb{N}](/media/m/2/b/a/2ba27c6141ca415bb86bae1d237f1fac.png)
te
![a_{1}](/media/m/0/6/5/0653090dabb5d1972cd7a7dfcd31abc1.png)
,
![a_{2}](/media/m/5/5/6/5565dac5c7f1dadb0e60c273c1d11c80.png)
, ...,
![a_{n}](/media/m/e/1/b/e1bf963ddae5d084fba54d8a7aa04acc.png)
pozitivni realni brojevi za koje vrijedi
![a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + \cdots + \frac{1}{a_{n}^{2}} \text{.}](/media/m/a/2/f/a2f362a6995782a1e4f1fb1087199acb.png)
Dokaži da za svaki
![m \in \left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}](/media/m/c/7/5/c75ae55f901a3c91e774ee43e5c73c0e.png)
postoji
![m](/media/m/1/3/6/1361d4850444c055a8a322281f279b39.png)
brojeva iz skupa
![\left\{a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n}\right\}](/media/m/c/d/6/cd6b6f29d2f8adcb20af886c05c7aa36.png)
čiji je zbroj barem
![m](/media/m/1/3/6/1361d4850444c055a8a322281f279b39.png)
.
%V0
Neka je $n \in \mathbb{N}$ te $a_{1}$, $a_{2}$, ..., $a_{n}$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $$ a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + \cdots + \frac{1}{a_{n}^{2}} \text{.} $$
Dokaži da za svaki $m \in \left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}$ postoji $m$ brojeva iz skupa $\left\{a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n}\right\}$ čiji je zbroj barem $m$.
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 2009