Državno natjecanje 2011 SŠ3 4
Dodao/la:
arhiva1. travnja 2012. Neka su
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
,
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
,
![c](/media/m/e/a/3/ea344283b6fa26e4a02989dd1fb52a51.png)
različiti prirodni brojevi i
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
prirodan broj takav da vrijedi
![\displaystyle ab + bc + ca \geqslant 3 k^2 -1 \text{.}](/media/m/d/b/0/db0a6157dddc20517ba8eaa39905b2b4.png)
Dokaži da je
![\displaystyle \frac13\left({a^3 + b^3 + c^3}\right) \geqslant abc + 3k](/media/m/f/5/4/f54eadfd06c3c6a0f15f180fdf82c603.png)
.
%V0
Neka su $a$, $b$, $c$ različiti prirodni brojevi i $k$ prirodan broj takav da vrijedi $$ \displaystyle ab + bc + ca \geqslant 3 k^2 -1 \text{.} $$
Dokaži da je $\displaystyle \frac13\left({a^3 + b^3 + c^3}\right) \geqslant abc + 3k$.
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 2011