IMO 2015 zadatak 3
Kvaliteta:
Avg: 4,0Težina:
Avg: 7,5 Neka je
šiljastokutni trokut u kojem je
. Neka je
njegova opisana kružnica,
njegov ortocentar, te
nožište visine iz
. Neka je
polovište dužine
. Neka je
točka na kružnici
takva da je
i neka je
točka na kružnici
takva da je
. Pretpostavlja se da su točke
,
,
,
i
u parovima različite i da leže na kružnici
tim redom.
Dokaži da su opisane kružnice trokuta
i
dodiruju.
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
![|AB| > |AC|](/media/m/7/f/d/7fddbedb4367b4ce33b5d123125805d4.png)
![\Gamma](/media/m/4/e/0/4e08987e1d0700578a2eb5c2fc65dc3b.png)
![H](/media/m/4/c/0/4c0872a89da410a25f00b86366efece7.png)
![F](/media/m/3/e/8/3e8bad5df716d332365fca76f53c1743.png)
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
![M](/media/m/f/7/f/f7f312cf6ba459a332de8db3b8f906c4.png)
![\overline{BC}](/media/m/8/8/1/8818caad7d36e134c54122cbf46f1cd9.png)
![Q](/media/m/4/5/c/45ce8d14aa1eb54f755fd8e332280abd.png)
![\Gamma](/media/m/4/e/0/4e08987e1d0700578a2eb5c2fc65dc3b.png)
![\sphericalangle HQA = 90^\circ](/media/m/6/0/e/60e944623711efcc8b30d54694c6711e.png)
![K](/media/m/e/1/e/e1ed1943d69f4d6a840e99c7bd199930.png)
![\Gamma](/media/m/4/e/0/4e08987e1d0700578a2eb5c2fc65dc3b.png)
![\sphericalangle HKQ = 90^\circ](/media/m/8/e/c/8ec28f4511f4b21b4380792f87af2d26.png)
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
![C](/media/m/5/a/b/5ab88f3f735b691e133767fe7ea0483c.png)
![K](/media/m/e/1/e/e1ed1943d69f4d6a840e99c7bd199930.png)
![Q](/media/m/4/5/c/45ce8d14aa1eb54f755fd8e332280abd.png)
![\Gamma](/media/m/4/e/0/4e08987e1d0700578a2eb5c2fc65dc3b.png)
Dokaži da su opisane kružnice trokuta
![KQH](/media/m/6/8/5/6855f109c6926aa6ef245b767f7b0664.png)
![FKM](/media/m/0/7/a/07ac8fcbb23fb96e7d65de0108f77c9f.png)
Izvor: Međunarodna matematička olimpijada 2015, prvi dan