Državno natjecanje 2001 SŠ1 2
Dodao/la:
arhiva1. travnja 2012. Sjecište dijagonala kvadrata
![ABCD](/media/m/9/c/e/9ce25711ba18d9663b73c3580de4bf5a.png)
je točka
![S](/media/m/c/6/3/c63593c3ec0773fa38c2659e08119a75.png)
, dok je točka
![P](/media/m/9/6/8/968d210d037e7e95372de185e8fb8759.png)
polovište stranice
![\overline{AB}](/media/m/a/1/a/a1a42310b1a849922197735f632d57ec.png)
. Neka je
![M](/media/m/f/7/f/f7f312cf6ba459a332de8db3b8f906c4.png)
sjecište dužina
![\overline{AC}](/media/m/d/9/5/d95354f0f833a5fda9c16a01a878c14f.png)
i
![\overline{PD}](/media/m/b/2/e/b2ed957a7f7f634f738a005e59ecfa29.png)
, a
![N](/media/m/f/1/9/f19700f291b1f2255b011c11d686a4cd.png)
sjecište dužina
![\overline{BD}](/media/m/7/3/2/732e8894e57eb20026de06c47885ae55.png)
i
![\overline{PC}](/media/m/3/f/f/3ff6f0817fe1a8325447c1d1efaf96d8.png)
. Četverokutu
![PMSN](/media/m/c/7/c/c7ce523198975af4d8affdc6cc6df752.png)
upisana je kružnica. Dokažite da je njen polumjer jednak
![\left\vert MP \right\vert - \left\vert MS \right\vert](/media/m/a/d/7/ad7c6e63d92c0a16bea2189d32d74126.png)
.
%V0
Sjecište dijagonala kvadrata $ABCD$ je točka $S$, dok je točka $P$ polovište stranice $\overline{AB}$. Neka je $M$ sjecište dužina $\overline{AC}$ i $\overline{PD}$, a $N$ sjecište dužina $\overline{BD}$ i $\overline{PC}$. Četverokutu $PMSN$ upisana je kružnica. Dokažite da je njen polumjer jednak $\left\vert MP \right\vert - \left\vert MS \right\vert$.
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 2001