Državno natjecanje 2012 SŠ4 1
Dodao/la:
arhiva1. travnja 2012. a) Neka su
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
i
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
realni brojevi takvi da su
![x+y](/media/m/8/1/3/8139f6f8d452676c26aff80eaa010e0a.png)
,
![x^2+y^2](/media/m/e/b/f/ebf25b3d510b690feb16271e02995a61.png)
i
![x^4+y^4](/media/m/c/6/b/c6b47e27346629f0e24dd8b213153ca8.png)
cijeli brojevi. Dokaži da je broj
![x^n+y^n](/media/m/9/9/3/9937e8ae35e6770848c2e5e7dae19388.png)
cijeli za svaki prirodni broj
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
.
b) Nađi primjer realnih brojeva
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
i
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
koji nisu cijeli, takvih da su
![x+y](/media/m/8/1/3/8139f6f8d452676c26aff80eaa010e0a.png)
,
![x^2+y^2](/media/m/e/b/f/ebf25b3d510b690feb16271e02995a61.png)
i
![x^4+y^4](/media/m/c/6/b/c6b47e27346629f0e24dd8b213153ca8.png)
cijeli brojevi.
c) Nađi primjer realnih brojeva
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
i
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
koji nisu cijeli, takvih da su
![x+y](/media/m/8/1/3/8139f6f8d452676c26aff80eaa010e0a.png)
,
![x^2+y^2](/media/m/e/b/f/ebf25b3d510b690feb16271e02995a61.png)
i
![x^3+y^3](/media/m/d/b/b/dbbcc6c367064e757ff9a2cf1f5c0d8c.png)
cijeli, ali
![x^4+y^4](/media/m/c/6/b/c6b47e27346629f0e24dd8b213153ca8.png)
nije cijeli broj.
%V0
a) Neka su $x$ i $y$ realni brojevi takvi da su $x+y$, $x^2+y^2$ i $x^4+y^4$ cijeli brojevi. Dokaži da je broj $x^n+y^n$ cijeli za svaki prirodni broj $n$.
b) Nađi primjer realnih brojeva $x$ i $y$ koji nisu cijeli, takvih da su $x+y$, $x^2+y^2$ i $x^4+y^4$ cijeli brojevi.
c) Nađi primjer realnih brojeva $x$ i $y$ koji nisu cijeli, takvih da su $x+y$, $x^2+y^2$ i $x^3+y^3$ cijeli, ali $x^4+y^4$ nije cijeli broj.
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 2012