Školjka

U trokutu s duljinama stranica $a, b, c$ i nasuprotnim kutovima $\alpha, \beta, \gamma$ definira se tzv. Brocardov kut $\omega$ formulom $$m = \ctg{\omega} = \ctg{\alpha} + \ctg{\beta} + \ctg{\gamma}.$$ (a) Izrazite zbrojeve $a^2 + b^2 + c^2,$ $a^4 + b^4 + c^4$ i $b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2$ pomoću veličine $m$ i površine $P$ trokuta koristeći prethodno dokazanu formulu $$2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 = 16P^2.$$ (b) Dokažite da je $m \geq 3.$ Što to znači za kut $\omega?$ Za koje trokute vrijedi jednakost? \\ (c) Dokažite da ne postoji trokut kod kojeg su $a, b, c, m$ cijeli brojevi.