Školjka

%V0 Riješite jednadžbu $$ \frac{x}{2 + \frac{x}{ \frac{\vdots}{2 + \frac{x}{1 + \sqrt{1+x}}}}} = 1 $$ u kojoj ima $1994$ razlomačke crte.

%V0 Iz vrha $A$ paralelograma $ABCD$ spuštene su okomice $AM$ i $AN$ na pravce $BC$ i $CD$. Dokažite da su trokuti $ABC$ i $MAN$ slični.

%V0 Odredite sve korijene polinoma $$ P(z) = 2z^{3} - (5 + 6i)z^{2} + 9iz + 1 - 3i,\quad z \in \mathbb{C} $$ znajući da je bar jedan od njih realan.

%V0 Za koje $a \in \mathbb{R}$ su sva rješenja jednadžbe $$ x(x - 1)(x - 2)(x - 3) = a $$ realna?

%V0 Odredite sva rješenja jednadžbe u skupu kompleksnih brojeva $$ z^{5} = \overline{z}. $$

%V0 Pet kružnica upisano je u pravokutnik kako je prikazano na slici: [img attachment=2 width=213px] Duljina manje stranice pravokutnika jednaka je $1$. Kolika je duljina veće stranice?

%V0 Duljina jedne dijagonale romba je geometrijska sredina duljine stranice i druge dijagonale. Odredite kutove romba.

%V0 Riješite nejednakost: $$ \frac{9^{x} - 5\cdot 15^{x} + 4\cdot 25^{x}}{-9^{x} + 8\cdot 15^{x} - 15\cdot 25^{x}} < 0. $$

%V0 Učenik je iz jednadžbe $(x+3)(2-x)=4$ zaključio da je ili $x+3=4$ ili $2-x=4,$ tj. da je $x=1$ ili $x=-2.$ Iako je zaključivanje pogrešno, rješenje je ispravno. Odredite $r\,\,(r \neq 0),$ tako da se za dane brojeve $p$ i $q$ istim zaključivanjem iz jednadžbe $(x+p)(q-x)=r$ dobije ispravno rješenje.

%V0 Neka su $z_1$, $z_2$ i $z_3$ kompleksni brojevi takvi da je $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ i $z_1+z_2+z_3=0$. Dokažite da izraz $$ |z_1+z_2|^2+|z_2+z_3|^2+|z_3+z_1|^2 $$ poprima jednu te istu vrijednost za svaki izbor kompleksnih brojeva koji zadovoljavaju gornje uvjete.

%V0 Tangente povučene iz točke $T$ na kružnicu diraju je u točkama $A$ i $B$. Neka je $C$ na kružnici, različita od $B$, takva da je $|AB|=|AC|$. Dokažite da je $\angle TCB \le 30^{\circ }.$

%V0 Među točkama $(x,y)$ koordinatne ravnine za koje je $$\log_{x^2+y^2}(x+y) \ge 1$$ odredite onu koja ima najveću apscisu.

%V0 Rješenja kvadratne jednadžbe $x^2+px+q=0$, gdje je $p+q=1996$, su cijeli brojevi. Nađite ta rješenja.

%V0 Konveksni četverokuti $ABCD$ i $AECF$ upisani su u istu kružnicu. Izrazite omjer njihovih površina pomoću duljina njihovih stranica.

%V0 Odredite $\log_a b$, $\log_{ab}b$, $\log_{ab^2}b$ i $\log_{ab^3}b$, ako je $$ \log _ab - \log _{ab}b = \log _{ab^2}b - \log _{ab^3}b. $$

%V0 Unutar danog trokuta, čije opisana i upisana kružnica imaju središta $O$ i $I$ i polumjere $R$ i $r$, nacrtane su četiri jednake kružnice polumjera $x$. Tri od njih diraju po dvije stranice trokuta te izvana diraju četvrtu kružnicu čije je središte u točki $S$. Dokažite da točka $S$ leži na pravcu određenom točkama $O$ i $I$. Nađite polumjer $x$.

%V0 Riješite sustav jednadžbi $$$ \begin{align*} 2(x^2 + y^2)- 3xy + 2(x + y) - 39 &= 0, \\ 3(x^2 + y^2)- 4xy +\hphantom{2}(x + y) - 50 &= 0. \end{align*} $$$

%V0 Nađite sve realne brojeve $a$ i $b$ tako da za svaki $x \in [-1,1]$ vrijedi nejednakost $$ |2x^2 + ax + b| \le 1. $$

%V0 Pomoću ravnala i šestara konstruirajte pravokutni trokut kojemu je zadana duljina visine na hipotenuzu i polumjer upisane kružnice.

%V0 Odredite najveći prirodan broj $n$ za koji postoji $n$-znamenkasti broj $\overline{z_1z_2\ldots z_n}$ (u dekadskom sustavu) s ovim svojstvima: $(a)$ $z_1$, $z_2$, $\dots$, $z_n$ su međusobno različiti brojevi; $(b)$ za svaki $j \le n$, $(1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot j)~|~\overline{z_1z_2\ldots z_j}$. Za taj $n$ nađite sve $n$-znamenkaste brojeve s traženim svojstvima.

%V0 U ravnini su dane tri međusobno različite nekolinearne točke $A$, $M$ i $N$. Konstruirajte kvadrat tako da mu je jedan vrh u točki $A$, a dvije stranice koje ga ne sadrže, leže na pravcima koji prolaze točkama $M$, odnosno $N$.

%V0 Nađite skup kompleksnih brojeva $z$ za koje je $$ \text{Im}(z^4)=\left(\text{Re}(z^2)\right)^2 $$ i skicirajte ga u kompleksnoj ravnini.

%V0 Nađite sva cjelobrojna rješenja jednadžbe $$ 10x^3+20y^3+8xyz=1999z^3. $$

%V0 $a)$ Odredite sve četveroznamenkaste brojeve koji su jednaki četvrtoj potenciji sume svojih znamenaka. $b)$ Dokažite da ne postoji peteroznamenkasti broj koji je jednak petoj potenciji sume svojih znamenaka.

%V0 U kompleksnoj ravnini promatrajte skup svih točaka $z$ oblika $(4t+1)+(3t+7)i$, gdje je $t$ realan broj. Što je taj skup? Odredite onaj broj iz tog skupa koji ima najmanju apsolutnu vrijednost.

%V0 Za koje realne brojeve $a$ je najmanja vrijednost funkcije $$ f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2 $$ na intervalu $[0,2]$ jednaka $3$?

%V0 U šiljastokutnom trokutu $ABC$ povučene su visine $\overline{BB}$ i $\overline{CC}$. Kroz ortocentar $H$ je povučen pravac koji siječe stranice trokuta $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom u točkama $M$ i $N$. Neka je $M$ nožište okomice iz $M$ na $\overline{BB}$ i $N$ nožište okomice iz $N$ na $\overline{CC}$. Dokažite da je $MC\parallel NB$.

%V0 Na dvije suprotne strane kockice nalazi se po jedna točka, na druge dvije suprotne strane po dvije i na preostale dvije po tri točke. Od osam takvih kockica napravljena je kocka $2\times 2\times 2$, te se prebroji koliko točaka ima na svakoj strani. Može li se na taj način dobiti šest uzastopnih prirodnih brojeva?

%V0 Nađite sve kompleksne brojeve $z$ za koje vrijedi $$ \left|\dfrac{1}{z-i}+1\right|=1\;\;\;\text{i}\;\;\; \left|\dfrac{1}{z-i}-i\right|=1. $$

%V0 Ako su svakoj od jednadžbi $x^2+px+q=0$ i $x^2+px-q=0$ i gdje je $q\ne 0$, oba rješenja cjelobrojna, dokažite da tada postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je $p^2=a^2+b^2$.