Školjka

%V0 U točkama parabole $y^{2} = 12x$ s ordinatama $2, 6, -3$ povučene su tangente. Koliki je omjer površina trokuta kojeg tvore te tri točke i trokuta kojeg tvore sjecišta tangenata na parabolu u tim točkama?

%V0 Ako je $x_{1} = 1$ i $x_{n+1} = \dfrac{1}{1 + x_{n}}$ za svaki $n \in \mathbb{N}$, dokažite da je $$ x^{2}_{1994} + x_{1994} < 1. $$

%V0 Nađite sve strogo rastuće funkcije $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, takve da je $f^{-1} = f$.

%V0 Može li se ploča $8 \times 8$ bez kutnih polja prekriti s $15$ pločica oblika $\setlength{\unitlength}{5pt} \begin{picture}(3, 2) \put(0, 0){\line(1, 0){3}} \put(0, 0){\line(0, 1){2}} \put(3, 1){\line(-1, 0){3}} \put(3, 1){\line(0, -1){1}} \put(1, 0){\line(0, 1){2}} \put(0, 2){\line(1, 0){1}} \put(2, 0){\line(0, 1){1}} \end{picture}$ ili $\setlength{\unitlength}{5pt} \begin{picture}(3, 2) \put(0, 0){\line(1, 0){1}} \put(0, 0){\line(0, 1){2}} \put(3, 2){\line(-1, 0){3}} \put(3, 2){\line(0, -1){1}} \put(1, 0){\line(0, 1){2}} \put(0, 1){\line(1, 0){3}} \put(2, 2){\line(0, -1){1}} \end{picture}$?

%V0 Za broj $x \in (1, 2)$ definiran je niz $$a_{0} = 1, a_{n} = \frac{a_{n-1}}{\log _{x}2} + 1 ,\quad n \in \mathbb{N}. $$ Dokažite da je $a_{n} < \log _{\frac{2}{x}}2$ za svaki $n \in \mathbb{N}$.

%V0 Dana je pravilna trostrana prizma. Odredite kut između dijagonale pobočke i pravca koji prolazi težištem osnovice i polovištem nasuprotnog bočnog brida. Poznato je da se stranica osnovice i visina prizme odnose kao $1 : \sqrt{3}$.

%V0 Pravci $x + y + 4 = 0$ i $7x - y + 4 = 0$ tangente su kružnice čije je središte na pravcu $4x + 3y - 2 = 0$. Nađite jednadžbu te kružnice.

%V0 Neka je $z$ kompleksan broj takav da je $|z| = 1$. Dokažite da je $$ 2 \leq |z - 1| + |z + 1| \leq 2\sqrt{2}. $$ Kada vrijede znakovi jednakosti?

%V0 Neka je $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ funkcija sa skupa pozitivnih cijelih brojeva u skup realnih brojeva takva da vrijedi: $(a)$ $f(1)=1$, $(b)$ $f(1)+2f(2)+3f(3)+\ldots+nf(n)=n(n+1)f(n)$ za $n \ge 2$. Nađite $f(1996)$.

%V0 Zadana su prva tri člana geometrijskog niza $1$, $q$, $q^2 \quad (q > 0$, $q \neq 1)$. $(a)$ Odredite sve $x \in \mathbb{R}$ tako da kvadrati brojeva $1-x$, $q-x$, $q^2-x$ čine aritmetički niz, a zatim ispitajte predznak od $x$ za razne vrijednosti $q.$ $(b)$ Izrazite razliku tog aritmetičkog niza kao funkciju od $q$. Koji uvjet zadovoljava $q$ ako je ovaj niz rastući?

%V0 Neka su točke $A_i(x_i,y_i),\quad i=1, 2, 3, 4$ na hiperboli $xy=1.$ Dokažite tvrdnju: ako su sve četiri točke na istoj kružnici, onda je $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4=1$.

%V0 Nađite kut između težišnica $\overline{BD}$ i $\overline{CE}$ strana $ABC$ i $SAC$ pravilnog tetraedra $SABC.$

%V0 Odredite jednadžbu pravca $p$ koji prolazi točkom $T(-1,\,1)$, a polovište segmenta kojeg na $p$ odsjecaju pravci $x + 2y - 1 = 0$ i $x + 2y - 3 = 0$ leži na pravcu $x - y - 1 = 0$.

%V0 Nađite sve prirodne brojeve $x$ za koje je $$ 1 + a + a^2 + \ldots + a^x = (1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)(1 + a^8)\ldots (1 + a^{2^n}), $$ gdje je $a$ realan i $n$ prirodan broj.

%V0 Neka je $p_1 = 2$, $p_2 = 3$, $p_3 = 5$, $\dots$, $p_n$,$\dots$ niz svih prostih brojeva poredanih po veličini. Dokažite da za svaki prirodan broj $n$ vrijedi nejednakost $$ p_n \ge 3n - 5. $$

%V0 Na koji način treba staviti dva predmeta u dvije različite ladice okruglog stola s $n$ ($n \ge 5$) ladica, tako da vjerojatnost nalaženja barem jednog predmeta otvaranjem dviju susjednih ladica bude najmanja?

%V0 Polovištem tetive parabole $y^2 = \frac{8}{3}x$, koja leži na pravcu $4x - 3y - 12 = 0$, povučena je paralela s $x$-osi. Sjecištem te paralele i parabole povučena je na nju tangenta. Pokažite da je ona paralelna sa zadanom tetivom.

%V0 Dokažite da je za svaki cijeli broj $n \ge 0$, broj $$ 7^{2n+1} + 2\cdot 13^{2n+1} + 17^{2n+1}, $$ djeljiv s $50$.

%V0 Koliko ima strogo rastućih aritmetičkih nizova čiji su svi članovi pozitivni cijeli brojevi, a zbroj prvih $37$ jednak je $1998$?

%V0 U trostranoj piramidi duljina točno jednog brida je veća od $1$. Pokažite da njezin volumen nije veći od $\frac{1}{8}$.

%V0 Nađite duljinu zajedničke tetive kružnica $$ x^2+y^2-2x-4y-4=0\quad \text{i}\quad x^2+y^2-3x+4y=0. $$ Koliko ima zajedničkih tangenata? Nađite njihove jednadžbe, kao i udaljenosti između njihovih dirališta s kružnicama.

%V0 $a)$ Rastavite na faktore izraz $n^4+4$. $b)$ Dokažite da je $$ \frac{\left( 1^4+\frac14 \right)\left( 3^4+\frac14 \right) \left( 5^4+\frac14 \right)\ldots\left( 11^4+\frac14 \right)} {\left( 2^4+\frac14 \right)\left( 4^4+\frac14 \right) \left( 6^4+\frac14 \right)\ldots\left( 12^4+\frac14 \right)}=\frac1{313} \text{.} $$

%V0 Neka je $0<a<b<c<d$. Dokažite da je $a^bb^cc^dd^a\ge b^ac^bd^ca^d$.

%V0 Niz $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$, $\dots$ definiran je ovako: $$$\begin{align*} a_1&=1, \\ a_n&= \dfrac{n+1}{n-1}(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}),\quad n>1. \end{align*}$$$ Odredite $a_{1999}$.

%V0 Nađite sve četveroznamenkaste brojeve koji su jednaki kvadratu nekog cijelog broja, a imaju svojstvo da su im znamenke desetica i tisućica jednake, dok im je znamenka stotica za $1$ veća od znamenke jedinica.

%V0 Ako su $a$, $b$ i $c$ duljine stranica trokuta, takve da je $a+b=3c$, dokažite jednakost $$ \ctg \frac{\alpha }{2}\cdot \ctg \frac{\beta }{2}=2. $$

%V0 U elipsu $ b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 $ (sa središtem u ishodištu), upisan je trokut $ ABC $ tako da je tangenta na elipsu u svakom njegovom vrhu paralelna s nasuprotnom stranicom trokuta. Kolika je površina tog trokuta ako je $C=(0,b)$?

%V0 Dokažite da je $$ \left(\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)^n+\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2}\right)^n $$ neparan broj za svaki pozitivan cijeli broj $n$.

%V0 Točka $(0,3)$ je na paraboli $f(x)=x^2+px+q$. Tangenta parabole u toj točki ima koeficijent smjera $k=-1$. Odredite njezinu jednadžbu.

%V0 Zadan je niz $0,\;1,\;3,\;6,\;10,\;15,\;21,\ldots$, kod kojeg se razlika susjednih članova uvećava za $1$. $a)$ Odredite opći član niza. $b)$ Odredite zbroj prvih $n$ članova niza, za prirodan broj $n$.