Školjka

%V0 Neka su $a, b, c$ pozitivni realni brojevi takvi da vrijedi $$ a + b + c = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \text{.} $$ Dokaži $$ 2(a + b + c) \geq \sqrt[3]{7a^2b + 1} + \sqrt[3]{7b^2c + 1} + \sqrt[3]{7c^2a + 1} \text{.} $$ Nađi sve trojke $(a, b, c)$ za koje vrijedi jednakost.

%V0 Neka je $n$ prirodni broj. Na ploču koja se sastoji od $4n \times 4n$ kvadrata postavljeno je točno $4n$ žetona tako da se u svakom retku i svakom stupcu nalazi točno jedan žeton. U jednom koraku, jedan žeton pomičemo horizontalno ili vertikalno na susjedni kvadrat. Više žetona se u nekom trenutku može nalaziti na istom kvadratu. Žetone trebamo pomaknuti tako da zauzimaju sve kvadrate jedne od dviju dijagonala. Odredi najmanji broj $k(n)$ takav da to možemo postići u najviše $k(n)$ koraka za bilo koji početni raspored.

%V0 Neka je $ABC$ jednakokračni trokut takav da je $|AC| = |BC|$. Neka je $N$ točka unutar tog trokuta takva da je $2|\angle ANB| = 180^\circ + |\angle ACB|$. Neka je $D$ sjecište pravca $BN$ i pravca paralelnog pravcu $AN$ koji prolazi točkom $C$. Neka je $P$ sjecište simetrale $\angle CAN$ i simetrale $\angle ABN$. Dokaži da su pravci $DP$ i $AN$ međusobno okomiti.

%V0 Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi. Dokaži da postoje prirodni brojevi $x$ i $y$ takvi da vrijedi $$ \binom{x + y}{2} = ax + by \text{.} $$

%V0 Nađite sve funkcije $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da je $$ f(x f(x) + 2y) = f(x^2) + f(y) + x + y - 1 $$ za sve $x, y \in \mathbb{R}$.

%V0 Neka su $x, y, z, w \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ takvi da je $x + y \neq 0$, $z + w \neq 0$ i $xy + zw \geq 0$. Dokažite nejednakost $$ \left( \frac{x + y}{z + w} + \frac{z + w}{x + y} \right)^{-1} + \frac{1}{2} \geq \left( \frac{x}{z} + \frac{z}{x} \right)^{-1} + \left( \frac{y}{w} + \frac{w}{y} \right)^{-1} \text{.} $$

%V0 Na sjevernoj strani ulice nalazi se $n \geq 2$ kuća. Od zapada prema istoku, kuće su označene brojevima od $1$ do $n$. Svaka kuća ima istaknutu ploču s kućnim brojem. Jednog dana stanovnici te ulice odlučili su našaliti se s poštarom tako da su izmiješali ploče s kućnim brojevima na sljedeći način: svakim dvjema susjednim kućama su točno jednom međusobno zamijenjene ploče koje su u tom trenutku imale. Koliko različitih nizova ploča s brojevima se moglo postići na kraju toga dana?

%V0 Promotrite konačno mnogo točaka u ravnini takvih da nikoje tri točke ne leže na jednom pravcu. Svaku od tih točaka možemo obojati crvenom ili zelenom bojom tako da svaki trokut kojem su vrhovi iste boje u svojoj unutrašnjosti sadrži barem jednu točku druge boje. Koji je najveći mogući broj takvih točaka?

%V0 Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut. Konstruirajte trokut $PQR$ takav da je $|AB| = 2|PQ|$, $|BC| = 2|QR|$, $|CA| = 2|RP|$, a pravci $PQ$, $QR$ i $RP$ prolaze točkama $A$, $B$ i $C$, redom. (Točke $A, B, C, P, Q, R$ su međusobno različite.)

%V0 Neka je točka $K$ unutar šiljastokutnog trokuta $ABC$ takva da je pravac $BC$ zajednička tangenta kružnica opisanih trokutima $AKB$ i $AKC$. Neka je točka $D$ sjecište pravaca $CK$ i $AB$ te neka je točka $E$ sjecište pravaca $BK$ i $AC$. Neka je točka $F$ sjecište pravca $BC$ i simetrale dužine $\overline{DE}$. Opisana kružnica trokuta $ABC$ i kružnica $k$ polumjera $\overline{FD}$ sa središtem u točki $F$ sijeku se u točkama $P$ i $Q$. Dokažite da je dužina $\overline{PQ}$ promjer kružnice $k$.

%V0 Brojevi od $1$ do $2013^2$ napisani su redak po redak u tablicu koja se sastoji od $2013 \times 2013$ polja. Nakon toga, istovremeno su izbrisani svi retci i svi stupci koji sadržavaju barem jedan od potpunih kvadrata $1, 4, 9, \ldots, 2013^2$. Koliko je polja preostalo?

%V0 Izraz $$ \pm\Box \pm\Box \pm\Box \pm\Box \pm\Box \pm\Box $$ je napisan na ploči. Dva igrača, $A$ i $B$, igraju igru, naizmjence povlačeći poteze. Igrač $A$ povlači prvi potez. U svakom potezu, igrač koji je na potezu zamjenjuje jedan znak $\Box$ nekim prirodnim brojem. Nakon što su svi znakovi $\Box$ zamijenjeni, igrač $A$ zamjenjuje svaki od predznaka $\pm$ s jednim od predznaka $+$ ili $-$. Igrač $A$ pobjeđuje ako vrijednost izraza na ploči nije djeljiva ni s jednim od brojeva $11, 12, \ldots, 18$. U protivnome pobjeđuje igrač $B$. Koji igrač ima pobjedničku strategiju?