Europski matematički kup

Europski matematički kup 2012. juniori 1

Zadan je trokut $ABC$ i točka $Q$ na simetrali kuta $\angle BAC$ . Kružnica $k_1$ opisana trokutu $BAQ$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $P \neq C$ . Kružnica $k_2$ opisana je trokutu $CQP$ . Radijus kružnice $k_1$ je veći od radijusa kružnice $k_2$ . Kružnica sa središtem u $Q$ i radijusom $|QA|$ siječe kružnicu $k_1$ u točkama $A$ i $A_1$ . Kružnica sa središtem u $Q$ i radijusom $|QC|$ siječe kružnicu $k_1$ u točkama $C_1$ i $C_2$ . Dokaži da je $\angle A_1BC_1 = \angle C_2PA$ .

Europski matematički kup 2012. juniori 2

Neka je $S$ skup prirodnih brojeva takav da za svaka dva elementa $a$ i $b$ vrijedi $D(a, b)>1$ , a za svaka tri elementa tog skupa $a$ , $b$ i $c$ vrijedi $D(a, b, c)=1$ . Je li moguće da $S$ ima $2012$ članova?

( $D(x,y)$ , odnosno $D(x,y,z)$ označava najveći zajednički djelitelj brojeva $x,y$ , odnosno brojeva $x,y,z$ .)

Europski matematički kup 2012. juniori 3

Postoje li realni brojevi $x$ , $y$ i $z$ takvi da je $\begin{gather*} x^4 + y^4 + z^4 = 13\text{,}\\ x^3y^3z + y^3z^3x + z^3x^3y = 6\sqrt{3} \text{,}\\ x^3yz + y^3zx + z^3xy = 5\sqrt{3} \text{?} \end{gather*}$

Europski matematički kup 2012. juniori 4

Neka je $k$ prirodan broj. Na Europskom šahovskom kupu sudjelovalo je nekoliko igrača. Svaka dva igrača su odigrala točno jednu partiju u kojoj je netko pobijedio (nije bilo remija). Ustanovljeno je da je za svakih $k$ igrača bilo moguće naći igrača koji ih je sve pobijedio. Također je ustanovljeno da je broj igrača na turniru bio najmanji mogući za takav $k$ . Je li moguće da su na svečanoj večeri svi igrači bili smješteni za okrugli stol tako da je svatko sjedio pored igrača kojeg je pobijedio i pored igrača od kojeg je izgubio?

Europski matematički kup 2012. seniori 1

Nađi sve prirodne brojeve $a$ , $b$ , $n$ i proste $p$ koji zadovoljavaju jednadžbu $a^{2013} + b^{2013} = p^n\text{.}$

Europski matematički kup 2012. seniori 2

Zadan je šiljastokutan trokut $ABC$ i njegov ortocentar $H$ . Dužine $\overline{AH}$ i $\overline{CH}$ sijeku dužine $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ u točkama $A_1$ i $C_1$ redom. Neka je $D$ sjecište dužina $\overline{BH}$ i $\overline{A_1C_1}$ , a $P$ polovište dužine $\overline{BH}$ . Neka je točka $D'$ osnosimetrična slika točke $D$ u odnosu na pravac $AC$ . Dokaži da je četverokut $APCD'$ tetivan.

Europski matematički kup 2012. seniori 3

Dokaži da sljedeća nejednakost vrijedi za sve pozitivne realne brojeve $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ i $f$ : $\sqrt[3]{\frac{abc}{a+b+d}}+\sqrt[3]{\frac{def}{c+e+f}} < \sqrt[3]{(a+b+d)(c+e+f)} \text{.}$

Europski matematički kup 2012. seniori 4

Olja zapiše $n$ prirodnih brojeva $a_1, a_2, \ldots, a_n$ strogo manjih od $p_n$ , gdje $p_n$ označava $n$ -ti prosti broj. Oleg može odabrati dva (ne nužno različita) broja $x$ i $y$ te jednoga od njih zamijeniti produktom $xy$ . Ako se pojave dva jednaka broja Oleg pobjeđuje. Može li Oleg garantirati pobjedu?

Europski matematički kup 2013. juniori 1

Za prirodan broj $m$ neka je $m?$ umnožak prvih $m$ prostih brojeva.

Odredi postoje li prirodni brojevi $m$ i $n$ takvi da je $m?=n(n+1)(n+2)(n+3)$ .

Europski matematički kup 2013. juniori 2

Dan je trokut $ABC$ i točka $P$ unutar njega. Pravac paralelan s $AB$ koji prolazi kroz $P$ siječe stranice $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ u točkama $L$ i $F$ redom. Pravac paralelan s $BC$ koji prolazi kroz $P$ siječe stranice $\overline{CA}$ i $\overline{BA}$ u točkama $M$ i $D$ redom, dok pravac paralelan s $CA$ koji prolazi kroz $P$ siječe stranice $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ u točkama $N$ i $E$ redom. Dokaži da vrijedi $(PDBL) \cdot (PECM) \cdot (PFAN) = 8 \cdot (PFM) \cdot (PEL) \cdot (PDN) \text{,}$ gdje $(XYZ)$ i $(XYZT)$ označavaju površinu trokuta $XYZ$ , odnosno površinu četverokuta $XYZT$ .

Europski matematički kup 2013. juniori 3

Dan je lokot sastavljen od $6$ kotačića na kojima su zapisane znamenke $0, 1, 2, \ldots 9$ tim redom (nakon $9$ opet dolazi $0$ ). Točno jedna šifra otključava taj lokot. Jedan potez sastoji se od okretanja jednog od kotačića za jednu znamenku u bilo kojem smjeru, te se lokot odmah otvara ukoliko je novodobivena kombinacija jednaka šifri. Na početku su kotačići okrenuti tako da pokazuju kombinaciju $000000$ , te je provjereno da ta kombinacija ne otvara lokot.

a) Koji je najmanji broj poteza koji nam je potreban da sigurno otkrijemo šifru?
b) Koji je najmanji broj poteza koji nam je potreban da sigurno otkrijemo šifru, ako nam je još na početku rečeno da nijedna od kombinacija $000000$ , $111111$ , $222222$ , $\ldots$ , $999999$ nije šifra za taj lokot?

Europski matematički kup 2013. juniori 4

Neka su $a,b,c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $\frac{a}{1+b+c} + \frac{b}{1+c+a} + \frac{c}{1+a+b} \geqslant \frac{ab}{1+a+b} + \frac{bc}{1+b+c} + \frac{ca}{1+c+a} \text{.}$
Dokaži da tada vrijedi $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+a+b+c+2 \geqslant 2 (\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) \text{.}$

Europski matematički kup 2013. seniori 1

U svakom polju tablice zapisan je realan broj. Takvu $n \times n$ tablicu zovemo blesavom ako je broj u svakom polju tablice jednak umnošku svih brojeva u susjednim poljima.

a) Nađi sve blesave tablice dimenzija $2 \times 2$ .
b) Nađi sve blesave tablice dimenzija $3 \times 3$ .

(Dva polja tablice su susjedna ako dijele stranicu.)

Europski matematički kup 2013. seniori 2

Palindrom je niz znakova koji se jednako čita s lijeva na desno i s desna na lijevo. Dokaži da se u beskonačnom nizu $(x_n)_{n=0}^{\infty}$ definiranom sa $x_n=2013+317n$ nalazi beskonačno mnogo prirodnih brojeva čiji su decimalni zapisi palindromi.

Europski matematički kup 2013. seniori 3

Niz od $n$ znamenaka jedan ili nula zovemo kodom. Podniz koda je palindrom ako se jednako čita s lijeva na desno i s desna na lijevo. Palindrom zovemo lijepim ako se njegove znamenke u kodu pojavljuju za redom. (Kod $(1101)$ sadrži 10 palindroma, od kojih je 6 lijepih.)

a) Koji je najmanji mogući broj palindroma u kodu?
b) Koji je najmanji mogući broj lijepih palindroma u kodu?

Europski matematički kup 2013. seniori 4

Dan je trokut $ABC$ . Neka su $D,E,F$ nožišta visina iz $A,B,C$ redom. Neka su $X,Y,Z$ polovišta visina $\overline{AD}$ , $\overline{BE}$ , $\overline{CF}$ redom. Dokaži da se okomica iz $D$ na pravac $YZ$ , okomica iz $E$ na pravac $XZ$ te okomica iz $F$ na pravac $XY$ sijeku u jednoj točki.

Europski matematički kup 2015. juniori 1

Dana je ploča $n \times n$ , čiji su retci numerirani brojevima od $1$ do $n$ odozgo prema dolje i stupci brojevima od $1$ do $n$ s lijeva na desno. U svakom polju ploče s koordinatama $(x,y)$ napisan je broj $x^2+y^2$ . Na početku nam je dana figura i možemo je postaviti na proizvoljno polje ploče. Nakon toga, u svakom potezu možemo pomaknuti figuru na neko drugo polje ukoliko to polje već nije bilo posjećeno i ako je zadovoljen barem jedan od dva sljedeća uvjeta: $\begin{itemize} \item brojevi napisani na ta dva polja daju isti ostatak pri dijeljenju s $n$, \item ta polja se nalaze centralno simetrično u odnosu na sredinu ploče. \end{itemize}$ Mogu li sva polja ploče biti posjećena ako je

a) $n=4$ ,

b) $n=5$ ?

(Josip Pupić)

Europski matematički kup 2015. juniori 2

Neka su fiksirani pozitivni realni brojevi $m,n,p$ sa svojstvom $mnp=8$ . U ovisnosti o tim konstantama nađi minimum izraza $x^2+y^2+z^2+mxy+nxz+pyz,$ gdje su $x,y,z$ proizvoljni pozitivni realni brojevi takvi da je $xyz=8$ . Kada se postiže jednakost?

Riješi zadatak u slučaju:

a) $m=n=p=2$ ,

b) proizvoljnih (ali fiksiranih) pozitivnih realnih brojeva $m,n,p$ .

(Stijn Cambie)

Europski matematički kup 2015. juniori 3

Neka $d(n)$ označava broj pozitivnih djelitelja broja $n$ . Za prirodan broj $n$ definiramo $f(n)$ na sljedeći način: $f(n)=d(k_1)+d(k_2)+ \ldots + d(k_m),$ gdje su $1=k_1 < k_2 < \cdots < k_m=n$ svi djelitelji broja $n$ . Prirodan broj $n>1$ zovemo skoro savršenim ako je $f(n)=n$ . Nađi sve skoro savršene brojeve.

(Paulius Ašvydis)

Europski matematički kup 2015. juniori 4

Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut. Neka su $B', A'$ točke na simetralama dužina $\overline{AC},\overline{BC}$ redom takve da je $B'A \perp AB$ i $A'B \perp AB$ . Neka je $P$ točka na stranici $\overline{AB}$ i neka je $O$ središte opisane kružnice trokutu $ABC$ . Neka su $D,E$ točke na pravcima $BC, AC$ redom takve da je $DP \perp BO$ i $EP \perp AO$ . Neka je $O'$ središte opisane kružnice trokuta $CDE$ . Dokaži da su točke $B'$ , $A'$ i $O'$ kolinearne.

(Steve Dinh)

Europski matematički kup 2015. seniori 1

Neka je $A=\{ a,b,c\}$ tročlani podskup skupa prirodnih brojeva. Dokaži da postoji podskup $B=\{ x,y \}$ skupa $A$ takav da je za sve neparne prirodne brojeve $m,n$ izraz $x^my^n - x^ny^m$ djeljiv s $10$ .

(Tomi Dimovski)

Europski matematički kup 2015. seniori 2

Dani su pozitivni realni brojevi $a,b,c$ takvi da je $abc=1$ . Dokaži da je $\frac{a+b+c+3}{4} \geq \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}.$

(Dimitar Trenevski)

Europski matematički kup 2015. seniori 3

Kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku se u točkama $A$ i $B$ tako da $k_1$ prolazi točkom $O$ koja je središte kružnice $k_2$ . Pravac $p$ siječe $k_1$ u točkama $K$ i $O$ te $k_2$ u točkama $L$ i $M$ tako da je $L$ između točaka $K$ i $O$ . Točka $P$ je ortogonalna projekcija točke $L$ na pravac $AB$ . Dokaži da je pravac $KP$ paralelan s težišnicom trokuta $ABM$ povučenom iz točke $M$ .

(Matko Ljulj)

Europski matematički kup 2015. seniori 4

Grupa matematičara nalazi se na konferenciji. Kažemo da je matematičar $k$ -zadovoljan ako je u prostoriji s barem još $k$ ljudi kojima se on divi ili je u prostoriji s barem $k$ ljudi koji se dive njemu. Poznato je da su svi matematičari na konferenciji $3k+1$ -zadovoljni, ukoliko se svi nalaze u jednoj sobi prostoriji. Dokaži da je sve matematičare moguće podijeliti u dvije prostorije tako da nikoja prostorija nije prazna i tako da svi matematičari barem $k$ -zadovoljni. Diviti se nekome nije uzajamna relacija. Nitko se ne divi samome sebi.

(Matija Bucić)

Europski matematički kup 2016. juniori 1

Skakavac skaže po brojevnom pravcu. Na početku se nalazi u ishodištu. U $k$ -tom skoku duljina njegovog skoka je $k$ .

a) Ako je duljina skoka paran broj, tada skače u lijevo, inače skače u desno (primjerice, u prvom koraku skače jedan korak udesno, u drugom dva koraka ulijevo, u trećem tri koraka udesno, u četvrtom četiri koraka ulijevo...). Hoće li skakavac posjetiti svaki cijeli broj barem jednom?

b) Ako je duljina skoka broj djeljiv s tri, tada skače u lijevo, inače skače u desno (primjerice, u prvom koraku skače jedan korak udesno, u drugom dva koraka udesno, u trećem tri koraka ulijevo, u četvrtom četiri koraka udesno...). Hoće li skakavac posjetiti svaki cijeli broj barem jednom?

(Matko Ljulj)

Europski matematički kup 2016. juniori 2

Kružnice $C_1$ i $C_2$ sijeku se u točkama $A$ i $B$ . Neka su točke $P,Q$ na kružnicama $C_1,C_2$ redom tako da vrijedi $|AP|=|AQ|$ . Dužina $\overline{PQ}$ siječe kružnice $C_1$ i $C_2$ u točkama $M,N$ redom. Neka je $C$ polovište kružnog luka $BP$ kružnice $C_1$ koji ne sadrži točku $A$ te neka je $D$ polovište kružnog luka $BQ$ kružnice $C_2$ koji ne sadrži točku $A$ . Neka je $E$ sjecište pravaca $CM$ i $DN$ . Dokaži da je pravac $AE$ okomit na $CD$ .

(Steve Dinh)

Europski matematički kup 2016. juniori 3

Dokaži da za sve prirodne brojeve $n$ postoji $n$ različitih pozitivnih racionalnih brojeva čija je suma kvadrata jednaka $n$ .

(Daniyar Aubekerov)

Europski matematički kup 2016. juniori 4

Par prirodnih brojeva $(n,k)$ pri čemu je $k>1$ zovemo slatkim parom ako postoji tablica $n \times n$ koja se sastoji od jedinica i nula i ima sljedeća svojstva: $\begin{itemize} \item U svakom retku nalazi se točno $k$ jedinica. \item Za svaka dva retka vrijedi da postoji točno jedan stupac takav da se na presjeku tog stupca s oba spomenuta dva retka nalazi jedinica. \end{itemize}$

Riješi dva sljedeća potproblema:

a) Neka je $d \neq 1$ djelitelj broja $n$ . Odredi sve moguće ostatke broja $d$ pri dijeljenju sa $6$ .

b) Dokaži da postoji beskonačno mnogo slatkih parova.

(Miroslav Marinov, Daniel Atanasov)

Europski matematički kup 2016. seniori 1

Postoji li niz $a_1, \ldots, a_{2016}$ prirodnih brojeva takvih da je svaka suma $a_r + a_{r+1} + \ldots + a_{s-1} + a_s$ (uz $1 \leq r \leq s \leq 2016$ ) složen broj, no

a) $D (a_i, a_{i+1}) = 1$ za sve $i=1,2,\ldots, 2015$ ;

b) $D (a_i, a_{i+1})= 1$ za sve $i=1,2,\ldots, 2015$ i $D (a_i, a_{i+2})= 1$ za sve $i=1,2,\ldots, 2014$ ?

$D(x,y)$ označava najveći zajednički djelitelj brojeva $x,y$ .

(Matija Bucić)

Europski matematički kup 2016. seniori 2

Za neka dva prirodna broja $a$ i $b$ , Ivica i Marica igraju sljedeću igru: Za dane hrpe od $a$ i $b$ keksa, u svakom potezu igrač uzima $2n$ keksa s jedne hrpe, pojede ih $n$ , te ostalih $n$ vrati na drugu hrpu. Prirodan broj $n$ je proizvoljan u svakom potezu. Igrači igraju naizmjence, s time da Ivica igra prvi. Igrač koji ne može napraviti potez, gubi igru. Pretpostavljajući da oba igrača igraju optimalno, odredi sve parove brojeva $(a,b)$ za koje Marica ima pobjedničku strategiju.

(Petar Orlić)