Ekstremno loša matematička olimpijada

1. ELMO zadatak 1

Podskup prirodnih brojeva je jeftin ako za svaki njegov tročlani podskup vrijedi da u njemu postoje dva broja koja su relativno prosta i dva takva da je jedan djeljiv s drugim.

Koliko najviše elemenata može imati jeftin skup?

(Ivan Novak)

1. ELMO zadatak 2

Neka su $x_1, x_2, \ldots, x_9$ nenegativni realni brojevi takvi da $x_1+x_2+\ldots+x_9 = 63$ . Dokaži: $12 \leqslant \sqrt[3]{1+x_1} + \sqrt[3]{1+x_2} + \ldots + \sqrt[3]{1+x_9} \leqslant 18$

(Ivan Sinčić)

1. ELMO zadatak 3

Dokaži da je broj jedinica u svim neuređenim particijama nekog prirodnog broja jednak:

a) sumi brojeva različitih elemenata po svim particijama

b) sumi razlika, po svim particijama, najvećeg i drugog po veličini elementa

Neuređena particija prirodnog broja $n$ je multiskup prirodnih brojeva takav da je zbroj njegovih elemenata $n$ .

(Ivan Novak, Borna Šimić)

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ takav da mu je $\overline{BC}$ najduža stranica. Neka je $\Gamma$ njegova opisana kružnica, a $\Omega_B$ i $\Omega_C$ kružnice središta $B$ , $C$ radijusa $|BA|$ , $|CA|$ redom. Dokaži da tri sjecišta kružnica $\Gamma, \Omega_B, \Omega_C$ koja nisu $A$ čine trokut sličan trokutu $ABC$ .

(Borna Šimić)

1. ELMO zadatak 5

Za polinom $P$ vrijedi da nema cjelobrojne nultočke te da za svaki prosti $q$ postoji $k \in \mathbb{N}$ takav da $q \ | \ P(k)$ .

a) Postoji li $P$ sa cjelobrojnim koeficijentima?

b) Postoji li $P$ sa cjelobrojnim koeficijentima i vodećim koeficijentom $1$ ?

(Borna Šimić)

2. ELMO zadatak 1

Dani su prirodni brojevi $m$ i $n$ . Ako je $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ funkcija takva da za svaki $x \in \mathbb{N}$ vrijedi $f^n(x) = m$ i da za sve različite $x, y \in \mathbb{N}$ vrijedi $x - y \mid f(x) - f(y)$ mora li vrijediti $f(x) = m$ za sve $x$ ?

(Ivan Novak)

2. ELMO zadatak 2

Neka je $S$ konačan skup točaka u ravnini. Neka je $\mathcal A(S)$ skup pravaca pridruženih skupu $S$ takav da je za svaki $p \in \mathcal{A}(S)$ suma kvadrata udaljenosti točaka iz $S$ od $p$ minimalna.

a) Ako je $S$ osnosimetričan s obzirom na pravac $l$ i nema točaka na $l$ , mora li neki $p \in \mathcal A(S)$ biti osnosimetričan s obzirom na $l$ ?

b) Ako je $S$ centralnosimetričan s obzirom na točku $T$ i ne sadrži $T$ , mora li svaki $p \in \mathcal A(S)$ biti centralnosimetričan s obzirom na $T$ ?

(Borna Šimić)

2. ELMO zadatak 3

Nađi sve funkcije $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ takve da $f(x+f(y)+f(xy)) = f(x) + yf(x+1)$ za sve $x, y \in \mathbb{R}$ .

(Borna Šimić)

2. ELMO zadatak 4

Dan je trokut $ABC$ . Neka su $M, N$ polovišta stranica $\overline{AB}, \overline{AC}$ . Neka su $X, Y$ točke na simetralama stranica $\overline{AB}, \overline{AC}$ sa vanjske strane trokuta takve da $2|MX| = |AB|$ i $2|NY| = |AC|$ . Neka je $Z$ nožište visine iz vrha $A$ u trokutu $ABC$ . Dokaži da kružnica opisana trokutu $XYZ$ raspolavlja stranicu $\overline{BC}$ .

(Borna Šimić)

2. ELMO zadatak 5

Na vezicama Merlinovih patika nalazi se $n$ čvorova. Neki od čvorova su međusobno povezani. Odredi sve $n\geqslant2$ za koje je moguće da svaka $2$ čvora $A$ i $B$ zadovoljavaju sljedeće uvjete: $\begin{itemize} \item ako su $A$ i $B$ povezani, tada postoje točno $2$ čvora povezana i s $A$ i s $B$ \item ako $A$ i $B$ nisu povezani, tada postoji točno $1$ čvor povezan i s $A$ i s $B$. \end{itemize}$

(Ivan Novak)

3. ELMO zadatak 1

Neka su $x, y$ realni brojevi. Dokaži: $x^3 + 3xy(x+y) + y^3 \leqslant 1 \ \text{ ako i samo ako } \ x^3 + 3xy + y^3 \leqslant 1$

(Borna Šimić)

3. ELMO zadatak 2

Neka su $u$ i $v$ pozitivni racionalni brojevi. Definiramo niz $\{a_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ rekurzivno tako da vrijedi $a_1=u$ , $a_2=v$ , te za svaki prirodan broj $n \geqslant 2$ vrijedi $a_{n+1}=\sqrt{n^2+2+a_n+a_{n-1}}$ Odredi sve parove $(u,v)$ za koje je $a_n$ racionalan za svaki prirodan broj $n$ .

(Ivan Novak)

3. ELMO zadatak 3

Neka je $M(a, b)$ najveći zajednički djelitelj prirodnih brojeva $a, b$ . Neka je $\varphi(n)$ broj prirodnih brojeva $k \leqslant n$ takvih da $M(k, n) = 1$ , a neka je $\tau(n)$ broj djeljitelja $n$ . Dokaži: $\sum_{k = 1}^n \varphi(M(k, n)) \leqslant \varphi(n)\tau(n)$

Kada vrijedi jednakost?

(Borna Šimić)

3. ELMO zadatak 4

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ u kojem vrijedi $|\overline{AC}|<|\overline{AB}|<|\overline{BC}|$ . Neka je $\Gamma$ njegova opisana kružnica. Neka je $Y$ točka na $\Gamma$ , na manjem luku $\widehat{AB}$ , takva da vrijedi $|\angle BCY|=2|\angle ACY|$ . Neka je $X$ točka na stranici $\overline{AB}$ takva da vrijedi $2|AX|=|AC|$ . Neka je $R$ točka osnosimetrična polovištu dužine $\overline{AC}$ s obzirom na pravac $XY$ . Dokaži da kružnica opisana trokutu $BXY$ prolazi kroz $R$ ako i samo ako joj je središte na $\Gamma$ .

(Ivan Novak)

3. ELMO zadatak 5

Neka je $n\geqslant 4$ prirodan broj. Promotrimo skup od $n$ bakterija, takav da svaka bakterija osim jedne, koju ćemo zvati Kraljica, ima točno jednu majku (također bakteriju iz skupa). Kraljica nema niti jednu majku te je predak svim drugim bakterijama. Nijedna bakterija nije majka sama sebi. Kažemo da je bakterija $U$ tetka bakterije $V$ ako $U$ nije majka od $V$ i majka od $U$ je majka majke od $V$ . Odredi maksimalan broj parova bakterija $(U,V)$ takvih da je $U$ tetka od $V$ .

(Napomena: Kažemo da je bakterija $A$ predak bakterije $B$ ako postoji niz bakterija $x_1, x_2, \ldots x_k$ takav da $x_1 = A$ , $x_k = B$ te je $x_{i}$ majka $x_{i-1}$ za svaki $i \in \{2, 3, \ldots k\}$ )