Simulacije državnog natjecanja 2020.

1. teža simulacija državnog natjecanja 2020. - zadaci

1. teža simulacija državnog natjecanja 2020.

Mladi nadareni matematičari Marin Getaldić

20. listopada 2020.

1. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. - zadaci

1. lakša simulacija državnog natjecanja 2020.

Mladi nadareni matematičari Marin Getaldić

20. listopada 2020.

1. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 1

Riješi jednadžbu $1 + x_1 + 2x_1x_2 + \cdots + (n-1)x_1 x_2\cdots x_{n-1} = x_1 x_2 \cdots x_n$ za različite prirodne brojeve $x_1 ,x_2 ,...,x_n$ .

1. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 2

Dan je trokut $\triangle ABC$ s ortocentrom $H$ . Neka je $M$ polovište stranice $BC$ , a $D$ drugo sjecište pravca $AM$ i opisane kružnice $ABC$ . Neka je $E$ centralno simetrična slika točki $D$ s obzirom na $M$ .

Dokažite da je pravac $HE$ okomit na pravac $AM$ .

1. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 3

Na ploči je napisano 2020 prirodnih brojeva. Svaku minutu, na ploču dopišemo novi red brojeva na sljedeći način. Ispod svakog broja $a$ u prethodnom redu napišemo broj $f(a)$ gdje $f(a)$ predstavlja broj pojavljivanja broja $a$ u prethodnom redu. Dokažite da ćemo u nekom trenutku, jedan za drugim, napisati isti red brojeva.

1. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 4

Pronađite sve realne brojeve $a$ i $b$ koji zadovoljavaju relaciju $2(a^2 +1)(b^2+1)=(a+1)(b+1)(ab+1).$

1. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 5

Za koje prirodne brojeve $m$ i $n$ se pravokutnik dimenzija $m \times n$ može popločati (bez preklapanja) figurama sastavljenih od jediničnih kvadrata kao na slici?

$Attachment #1$

Figure se ne mogu rotirati ili zrcaliti.

1. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. - rješenja

1. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 1

Dokažite da se za svaki $n\geq 5$ , brojevi $1 , 2, \ldots, n$ mogu raspodijeliti u dvije grupe takve da je suma elemenata u jednoj grupi jednaka umnošku elemenata druge grupe.

1. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 2

Dokažite da za sve realne brojeve $x,y,z$ vrijedi $\frac{y^2 - x^2}{2x^2 + 1} + \frac{z^2 - y^2}{2y^2 + 1} + \frac{x^2 - z^2}{2z^2 + 1} \geqslant 0.$

1. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 3

Pronađi sve proste brojeve $p$ i prirodne brojeve $n$ koji zadovoljavaju jednadžbu $p(p-1) = 2(n^3-1).$

1. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 4

Na kružnici je nasumično postavljeno $n$ bijelih i $n$ crnih kuglica. Počevši od proizvoljne bijele kuglice, u smjeru kazaljke na satu sve bijele kuglice su redom označene brojevima $1 , 2 , \ldots , n$ . Na isti način su i sve crne kuglice označene brojevima $1 , 2, \ldots, n$ u smjeru suprotno od kazaljke na satu. Dokaži da postoji niz od $n$ uzastopnih kuglica koje su označene brojevima $\{ 1 , 2, \ldots , n \}$ u nekom redoslijedu.

1. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 5

Dan je $\triangle ABC$ i točka $A'$ simetrična točki $A$ s obzirom na stranicu $BC$ . Neka su $P$ i $Q$ točke na stranicama $AB$ i $AC$ , redom, takve da je $PA' = PC$ i $QA'=QB$ . Dokaži da okomica iz $A'$ na $PQ$ prolazi središtem opisane kružnice $\triangle ABC$ .

1. teža simulacija državnog natjecanja 2020. - rješenja

2. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. - zadaci

2. lakša simulacija državnog natjecanja 2020.

Mladi nadareni matematičari Marin Getaldić

22. listopada 2020.

2. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 1

Odredi sumu: $\Bigl\lfloor\dfrac{2^0}{3}\Bigr\rfloor + \Bigl\lfloor\dfrac{2^1}{3}\Bigr\rfloor + ... + \Bigl\lfloor\dfrac{2^{2020}}{3}\Bigr\rfloor$
gdje $\lfloor x \rfloor$ označava najveći cijeli broj manji od $x$ .

2. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 2

Neka su $a$ , $b$ , $c$ $\in \mathbb{R}$ takvi da vrijedi $0 \leq a$ , $b$ , $c \leq 1$ . Dokaži nejednakost: $a^2+b^2+c^2 \leq a^2b+b^2c+c^2a+1.$

2. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 3

Odredi najmanji prirodan broj $n \geq 4$ takav da za svaki skup $S$ koji sadrži točno $n$ cijelih brojeva postoje $4$ (različita) broja $a$ , $b$ , $c$ i $d$ iz $S$ za koje je $a+b-c-d$ djeljiv s $20$ .

2. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 4

2. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 5

$23$ prijatelja igra nogomet. Prvo izaberu suca koji će momčadi podijeliti u $2$ tima od $11$ ljudi. Znamo da je težina svakog od njih prirodan broj i da je, bez obzira tko je sudac, uvijek moguće napraviti $2$ ekipe jednake ukupne težine. Dokaži da su svi prijatelji iste težine.

2. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 1

Postoje li $3$ prirodna broja veća od $2^{2020}$ sa svojstvom da kada umnošku bilo koja $2$ ta broja dodamo $1$ dobijemo potpuni kvadrat?

2. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 2

Neka je $P(x)$ polinom sa realnim koeficijentima stupnja $2020$ . Ako $P(x^2-1)$ ima $3400$ realnih nultočaka, a $P(1-x^2)$ ima $2700$ realnih nultočaka, dokaži da onda postoje dvije realne nultočke od $P(x)$ takve da im je razlika manja od $0.002$ .

2. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 3

Odredi sve proste brojeve $p$ i $q$ za koje vrijedi da je $\dfrac{2^{p^2-q^2}-1}{pq}$ umnožak točno $2$ prosta broja.

2. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 4

Tetive $\overline{BC}$ i $\overline{DE}$ kružnice $w$ sijeku se u $A$ . Pravac kroz $D$ paralelan sa $\overline{BC}$ siječe $w$ ponovno u $F$ , a $\overline{FA}$ siječe $w$ ponovno u $T$ . Neka je $M$ presjek $\overline {ET}$ i $\overline{BC}$ , te neka je $N$ preslika $A$ preko $M$ . Pokaži da se polovište dužine $\overline{BC}$ nalazi na kružnici opisanoj $\triangle DEN$ .

2. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 5

Neka je $n$ prirodan broj veći od $3$ . Na kružnici je $2n-1$ jednako udaljenih točaka od kojih je točno $k$ obojano crveno. Takvo bojanje zovemo $dobrim$ ako postoji barem jedan par crvenih točaka takvih da se unutar jednog luka koji taj par tvori nalazi točno $n$ točaka. Odredi najmanji mogući $k$ za koji je svako bojanje točaka na kružnici $dobro$ .

2. teža simulacija državnog natjecanja 2020. - zadaci

2. teža simulacija državnog natjecanja 2020.

Mladi nadareni matematičari Marin Getaldić

22. listopada 2020.

2. teža simulacija državnog natjecanja 2020. - rješenja

2. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. - rješenja

3. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. - zadaci

3. lakša simulacija državnog natjecanja 2020.

Mladi nadareni matematičari Marin Getaldić

24. listopada 2020.

3. lakša simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 1

Odredi sve konačne skupove $S$ pozitivnih prirodnih brojeva za koje vrijedi da ako su $i,j \in S$ (može biti $i=j$ ) onda je i $\dfrac{i+j}{M(i,j)} \in S$ . $M(a,b)$ označava najveći zajednički dijelitelj brojeva $a$ i $b$ .