Školjka

1. teža simulacija državnog natjecanja 2020.

Mladi nadareni matematičari Marin Getaldić

20. listopada 2020.

1. lakša simulacija državnog natjecanja 2020.

Mladi nadareni matematičari Marin Getaldić

20. listopada 2020.

Riješi jednadžbu za različite prirodne brojeve .

Dan je trokut s ortocentrom . Neka je polovište stranice , a drugo sjecište pravca i opisane kružnice . Neka je centralno simetrična slika točki s obzirom na .

Dokažite da je pravac okomit na pravac .

Na ploči je napisano 2020 prirodnih brojeva. Svaku minutu, na ploču dopišemo novi red brojeva na sljedeći način. Ispod svakog broja u prethodnom redu napišemo broj gdje predstavlja broj pojavljivanja broja u prethodnom redu. Dokažite da ćemo u nekom trenutku, jedan za drugim, napisati isti red brojeva.

Pronađite sve realne brojeve i koji zadovoljavaju relaciju

Za koje prirodne brojeve i se pravokutnik dimenzija može popločati (bez preklapanja) figurama sastavljenih od jediničnih kvadrata kao na slici?

Figure se ne mogu rotirati ili zrcaliti.

Dokažite da se za svaki , brojevi mogu raspodijeliti u dvije grupe takve da je suma elemenata u jednoj grupi jednaka umnošku elemenata druge grupe.

Dokažite da za sve realne brojeve vrijedi

Pronađi sve proste brojeve i prirodne brojeve koji zadovoljavaju jednadžbu

Na kružnici je nasumično postavljeno bijelih i crnih kuglica. Počevši od proizvoljne bijele kuglice, u smjeru kazaljke na satu sve bijele kuglice su redom označene brojevima . Na isti način su i sve crne kuglice označene brojevima u smjeru suprotno od kazaljke na satu. Dokaži da postoji niz od uzastopnih kuglica koje su označene brojevima u nekom redoslijedu.

Dan je i točka simetrična točki s obzirom na stranicu . Neka su i točke na stranicama i , redom, takve da je i . Dokaži da okomica iz na prolazi središtem opisane kružnice .

2. lakša simulacija državnog natjecanja 2020.

Mladi nadareni matematičari Marin Getaldić

22. listopada 2020.

Odredi sumu:
gdje označava najveći cijeli broj manji od .

Neka su , , takvi da vrijedi , , . Dokaži nejednakost:

Odredi najmanji prirodan broj takav da za svaki skup koji sadrži točno cijelih brojeva postoje (različita) broja , , i iz za koje je djeljiv s .

Dan je paralelogram i u njemu točka tako da vrijedi . Odredi vrijednost izraza:

prijatelja igra nogomet. Prvo izaberu suca koji će momčadi podijeliti u tima od ljudi. Znamo da je težina svakog od njih prirodan broj i da je, bez obzira tko je sudac, uvijek moguće napraviti ekipe jednake ukupne težine. Dokaži da su svi prijatelji iste težine.

Postoje li prirodna broja veća od sa svojstvom da kada umnošku bilo koja ta broja dodamo dobijemo potpuni kvadrat?

Neka je polinom sa realnim koeficijentima stupnja . Ako ima realnih nultočaka, a ima realnih nultočaka, dokaži da onda postoje dvije realne nultočke od takve da im je razlika manja od .

Odredi sve proste brojeve i za koje vrijedi da je umnožak točno prosta broja.

Tetive i kružnice sijeku se u . Pravac kroz paralelan sa siječe ponovno u , a siječe ponovno u . Neka je presjek i , te neka je preslika preko . Pokaži da se polovište dužine nalazi na kružnici opisanoj .

Neka je prirodan broj veći od . Na kružnici je jednako udaljenih točaka od kojih je točno obojano crveno. Takvo bojanje zovemo ako postoji barem jedan par crvenih točaka takvih da se unutar jednog luka koji taj par tvori nalazi točno točaka. Odredi najmanji mogući za koji je svako bojanje točaka na kružnici .

2. teža simulacija državnog natjecanja 2020.

Mladi nadareni matematičari Marin Getaldić

22. listopada 2020.

3. lakša simulacija državnog natjecanja 2020.

Mladi nadareni matematičari Marin Getaldić

24. listopada 2020.

Odredi sve konačne skupove pozitivnih prirodnih brojeva za koje vrijedi da ako su (može biti ) onda je i . označava najveći zajednički dijelitelj brojeva i .