Školjka

%V0 Konačan skup $S$ točaka u ravnini je [i]balansiran[/i] ako za bilo koje dvije različite točke $A$ i $B$ u $S$ postoji točka $C$ u $S$ takva da je $|AC| = |BC|$. Kažemo da je $S$ [i]ekscentričan[/i] ako ni za koje tri u parovima različite točke $A$, $B$ i $C$ u $S$ ne postoji točka $P$ u $S$ takva da je $|PA| = |PB| = |PC|$. (a) Dokaži da za svaki prirodni broj $n \geqslant 3$ postoji balansirani skup koji se sastoji od $n$ točaka. (b) Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 3$ za koje postoji balansirani ekscentrični skup koji se sastoji od $n$ točaka.

%V0 Odredi sve trojke $(a, b, c)$ prirodnih brojeva takve da je svaki od brojeva $$ ab - c, \quad bc - a, \quad ca - b $$ potencija broja $2$. [i](Potencija broja $2$ je cijeli broj oblika $2^n$, gdje je $n$ nenegativni cijeli broj.)[/i]

%V0 Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|AB| > |AC|$. Neka je $\Gamma$ njegova opisana kružnica, $H$ njegov ortocentar, te $F$ nožište visine iz $A$. Neka je $M$ polovište dužine $\overline{BC}$. Neka je $Q$ točka na kružnici $\Gamma$ takva da je $\sphericalangle HQA = 90^\circ$ i neka je $K$ točka na kružnici $\Gamma$ takva da je $\sphericalangle HKQ = 90^\circ$. Pretpostavlja se da su točke $A$, $B$, $C$, $K$ i $Q$ u parovima različite i da leže na kružnici $\Gamma$ tim redom. Dokaži da su opisane kružnice trokuta $KQH$ i $FKM$ dodiruju.

%V0 Neka je $\Omega$ opisana kružnica trokuta $ABC$ i $O$ njeno središte. Kružnica $\Gamma$ sa središtem $A$ siječe dužinu $\overline{BC}$ u točkama $D$ i $E$, tako da su točke $B$, $D$, $E$ i $C$ u parovima različite i leže na pravcu $BC$ tim redom. Neka su $F$ i $G$ sjecišta kružnica $\Gamma$ i $\Omega$ takva da točke $A$, $F$, $B$, $C$ i $G$ leže na kružnici $\Omega$ tim redom. Neka je $K$ drugo sjecište opisane kružnice trokuta $BDF$ i dužine $\overline{AB}$. Neka je $L$ drugo sjecište opisane kružnice trokuta $CGE$ i dužine $\overline{CA}$. Pretpostavlja se da su pravci $FK$ i $GL$ različiti i da se sijeku u točki $X$. Dokaži da točka $X$ leži na pravcu $AO$.

%V0 Neka je $\mathbb{R}$ skup realnih brojeva. Odredi sve funkcije $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ za koje vrijedi jednakosti $$ f\left(x + f(x + y) \right) + f(xy) = x + f(x + y) + y f(x) $$ za sve realne brojeve $x$ i $y$.

%V0 Niz $a_1, a_2, \ldots$ cijelih brojeva zadovoljava sljedeće uvjete: (i) $1 \leqslant a_j \leqslant 2015$ za sve $j \geqslant 1$; (ii) $k + a_k \neq l + a_l$ za sve $1 \leqslant k < l$. Dokaži da postoje prirodni brojevi $b$ i $N$ takvi da je $$ \left| \sum_{j=m+1}^n (a_j - b) \right| \leqslant 1007^2 $$ za sve cijele brojeve $m$ i $n$ koji zadovoljavaju $n > m \geqslant N$.