Međunarodna matematička olimpijada 2017

IMO 2017 zadatak 1

Za svaki cijeli broj $a_0 > 1$ definiran je niz $a_0, a_1, a_2, ...$ tako da je za svaki $n \geqslant 0$

$a_{n+1} = \begin{cases} \sqrt{a_n} & \text{ako je } \sqrt{a_n} \text{ cijeli broj}\\ a_n+3 & \text{inače.} \end{cases}$

Odredi sve vrijednosti broja $a_0$ za koje postoji broj $A$ takav da je $a_n = A$ za beskonačno mnogo vrijednosti $n$ .

IMO 2017 zadatak 2

Neka je $\mathbb{R}$ skup svih realnih brojeva. Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi $f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy)$

Lovac i nevidljivi zec igraju igru u euklidskoj ravnini. Početna točka zeca, $A_0$ , i početna točka lovca, $B_0$ , su iste. Nakon $n-1$ rundi igre, zec je u točki $A_{n-1}$ , a lovac u točki $B_{n-1}$ . U $n$ -toj rundi, redom se odvija sljedeće:

$\text{(i)}$ Zec se neprimjetno premješta u točku $A_n$ tako da je udaljenost između $A_{n-1}$ i $A_{n}$ točno $1$ .

$\text{(ii)}$ Uređaj za lociranje dojavljuje lovcu točku $P_n$ , garantirajući samo da je udaljenost itmeđu $P_n$ i $A_n$ najviše $1$ .

$\text{(iii)}$ Lovac se vidljivo premješta u točku $B_n$ tako da je udaljenost između $B_{n-1}$ i $B_{n}$ točno $1$ .

Može li lovac uvijek, za bilo koje pomake zeca i za bilo koje točke koje dojavi uređaj za lociranje, birati svoje poteze tako da udaljenost između njega i zeca nakon $10^9$ rundi bude najviše $100$ ?

IMO 2017 zadatak 4

Neka su $R$ i $S$ međusobno različite točke na kružnici $\Omega$ takve da $\overline{RS}$ nije promjer. Neka je $l$ tangenta na kružnicu $\Omega$ u točki $R$ . Neka je $T$ točka takva da je $S$ polovište dužine $\overline{RT}$ . Točka $J$ nalazi se na kraćem luku $RS$ kružnice $\Omega$ tako da se opisana kružnica $\Gamma$ trokuta $\triangle JST$ i pravac $l$ sijeku u dvije različite točke. Neka je $A$ ono sjecište od $\Gamma$ i $l$ koje je bliže točki $R$ . Pravac $AJ$ siječe kružnicu $\Omega$ još u točki $K$ . Dokaži da pravac $KT$ dodiruje kružnicu $\Gamma$ .

IMO 2017 zadatak 5

Dan je prirodni broj $N \geqslant 2$ . U skupini od $N(N+1)$ nogometaša nikoja dva nisu iste visine. Ri su nogometaši poredani u red. Trener želi iz reda izbaciti $N(N-1)$ igrača tako da preostalih $2N$ igrača tvori red za koji vrijedi sljedećih $N$ uvjeta:

$\text{(1)}$ između dva najviša igrača nema nikoga,

$\text{(2)}$ između trećeg i četvrtog igrača po visini nema nikoga,

$...$

$\text{(N)}$ između dva najniža igrača po visini nema nikoga.

Dokaži da je to uvijek moguće napraviti.

IMO 2017 zadatak 6

Uređeni par $(x, y)$ cijelih brojeva je $\emph{primitivan}$ ako je najveći zajednički djelitelj brojeva $x$ i $y$ jednak $1$ . Neka je $S$ konačan skup $\emph{primitivnih}$ parova. Dokaži da postoje prirodan broj $n$ i cijeli brojevi $a_0, a_1, ..., a_n$ takvi da za sve parove $(x, y) \in S$ vrijedi: $a_0x^n + a_1x^{n-1}y + a_2x^{n-2}y^2 + ... + a_{n-1}xy^{n-1} + a_ny^n = 1$

Školjka