Međunarodna matematička olimpijada 2018

Zadaci

IMO 2018 zadatak 1

Neka je $\Gamma$ opisana kružnica šiljastokutnog trokuta $ABC$ . Točke $D$ i $E$ se nalaze na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ , redom, tako da je $|AD| = |AE|$ . Simetrale dužina $\overline{BD}$ i $\overline{CE}$ sijeku kraće lukove $AB$ i $AC$ kružnice $\Gamma$ u točkama $F$ i $G$ , redom.
Dokaži da su pravci $DE$ i $FG$ paralelni (ili se poklapaju).

IMO 2018 zadatak 2

Pronađi sve prirodne brojeve $n \geqslant 3$ za koje postoje realni brojevi $a_1, a_2, \dots a_{n + 2}$ takvi da je $a_{n + 1} = a_1$ , $a_{n + 2} = a_2$ i $a_ia_{i + 1} + 1 = a_{i + 2},$ za sve $i = 1, 2, \dots, n$ .

IMO 2018 zadatak 3

Anti-Pascalov trokut je tablica u obliku jednakostraničnog trokuta koja se sastoji od brojeva tako da, osim za brojeve u posljednjem retku, vrijedi da je svaki broj jednak apsolutnoj vrijednosti razlike dva broja koji su neposredno ispod njega. Na primjer, sljedeća tablica je anti-Pascalov trokut sa četiri retka, koji se sastoji od svih prirodnih brojeva od $1$ do $10$ . $\begin{array}{ c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{4pt}} c@{\hspace{4pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{2pt}}c@{\hspace{4pt}}c } \vspace{4pt} & & & 4 & & & \\\vspace{4pt} & & 2 & & 6 & & \\\vspace{4pt} & 5 & & 7 & & 1 & \\\vspace{4pt} 8 & & 3 & & 10 & & 9 \\\vspace{4pt} \end{array}$ Da li postoji anti-Pascalov trokut sa $2018$ redaka, koji se sastoji od svih prirodnih brojeva od $1$ do $1 + 2 + 3 + \dots + 2018$ ?

IMO 2018 zadatak 4

Pozicija je bilo koja točka $(x, y)$ u ravnini takva da su $x$ i $y$ prirodni brojevi manji ili jednaki od $20$ .
Na početku, svaka od $400$ pozicija je slobodna. Ana i Borna igraju igru u kojoj naizmjenično povlače poteze, pri čemu Ana igra prva. U svakom svom potezu Ana postavlja novi crveni kamenčić na slobodnu poziciju tako da je udaljenost bilo koje dvije pozicije na kojima se nalaze crveni kamenčići različita od $\sqrt{5}$ . U svakom svom potezu Borna postavlja novi plavi kamenčić na neku slobodnu poziciju. (Pozicija na kojoj se nalazi plavi kamenčić može biti na bilo kojoj udaljenosti od drugih pozicija na kojima se nalazi neki kamenčić.) Igra se završava kad neki igrač više ne može povući potez.

Odredi najveći broj $K$ takav da Ana sigurno može postaviti barem $K$ crvenih kamenčića, bez obzira na to kako Borna postavlja svoje plave kamenčiće.

IMO 2018 zadatak 5

Neka je $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ beskonačan niz prirodnih brojeva. Pretpostavimo da postoji prirodan broj $N > 1$ takav da je za sve brojeve $n \geqslant N$ $\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$ cijeli broj. Dokaži da postoji prirodan broj $M$ takav da je $a_m = a_{m+1}$ za sve $m \geqslant M$ .

IMO 2018 zadatak 6

Neka je $ABCD$ konveksan četverokut takav da je $|AB|\cdot |CD| = |BC|\cdot |DA|$ . Točka $X$ leži unutar $ABCD$ tako da vrijedi $\angle{XAB} = \angle{XCD}\quad\,\,\text{i}\quad\,\,\angle{XBC} = \angle{XDA}.$ Dokaži da je $\angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^\circ$ .

Školjka