Školjka

Trokut ima pravi kut u vrhu . Neka je točka na pravcu takva da je = i da točka leži između točaka i . Točka je izabrana tako da je i da je pravac simetrala kuta . Točka je izabrana tako da je i da je pravac simetrala kuta . Neka je točka polovište dužine . Neka je točka takva da je četverokut paralelogram i ). Dokaži da se pravci , i sijeku u jednoj točki.

Nađi sve prirodne brojeve za koje je moguće svako polje tablice ispuniti jednim od slova tako da su ispunjeni sljedeći uvjeti:

Neka je tetivan konveksni mnogokut u ravnini. Vrhovi imaju cjelobrojne koordinate. Neka je površina mnogokuta . Dan je neparni prirodan broj takav da su kvadrati duljina svih stranica mnogokuta prirodni brojevi djeljivi s . Dokaži da je prirodni broj djeljiv sa .

Skup prirodnih brojeva se naziva ako ima barem dva elementa i ako svaki njegov element ima barem jedan zajednički prosti djelitelj s barem jednim od preostalih elemenata. Neka je . Koja je najmanje moguća vrijednost prirodnog broja takva da postoji nenegativni cijeli broj za koji je skup ?

Jednadžba

je napisana na ploči, pri čemu se sa svake strane nalazi linearnih faktora. Koja je najmanja moguće vrijednost broja za koji je moguće izbrisati točno od ova linearna faktora tako da sa svake strane ostane bar po jedan faktor i da dobivena jednadžba nema realnih rješenja?

U ravnini se nalazi dužina takvih da se svake dvije dužine sijeku u unutrašnjoj točki i da nikoje tri dužine nemaju zajedničku točku. Geoff mora izabrati po jednu krajnju točku svake dužine i na nju postaviti žabu okrenutu prema drugoj krajnjoj točki te dužine. Potom će pljesnuti rukama puta. Svaki put kada pljesne, svaka žaba odmah skoči prema naprijed do iduće točke presjeka na svojoj dužini. Žabe nikad ne mijenjaju smjer svojih skokova. Geoffu želi postaviti žabe tako da nikoje dvije od njih niti u jednom trenutku ne zauzimaju istu točku presjeka.

Dokaži da Geoff uvijek može ispuniti svoju želju ako je neparan.

Dokaži da Geoff nikad ne može ispuniti svoju želju ako je paran.