Školjka

%V0 Nađite sva cjelobrojna rješenja jednadžbe $$\frac1m + \frac1n - \frac{1}{mn^2} = \frac34 \text{.}$$

%V0 Neka su $a$ i $c$ duljine osnovica trapeza. Dokažite: a) Duljina dužine paralelne s osnovicama, koja raspolavlja površinu trapeza, jednaka je $\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}}$ (kvadratna sredina). b) Duljina spojnice polovišta krakova jednaka je $\frac{a+c}{2}$ (aritmetička sredina). c) Duljina dužine paralelne osnovicama, koja dijeli trapez na dva međusobno slična trapeza, jednaka je $\sqrt{ac}$ (geometrijska sredina). d) Duljina dužine paralelne s osnovicama kroz sjecište dijagonala, kojoj su krajevi na krakovima, jednaka je $\frac{2}{\frac1a + \frac1c}$ (harmonijska sredina).

%V0 Riješite sustav jednadžbi $$$\begin{equation*} \setlength{\arraycolsep}{2pt} \begin{array}{lclclcl} 2x_{1} &- &5x_{2} &+ &3x_{3} &= &0\\ 2x_{2} &- &5x_{3} &+ &3x_{4} &= &0\\ &&&&&\vdots\\ 2x_{1993} &- &5x_{1994} &+ &3x_{1} &= &0\\ 2x_{1994} &- &5x_{1} &+ &3x_{2} &= &0 \text{.} \end{array} \end{equation*}$$$

%V0 Pokažite da za svaka dva pozitivna broja $p$ i $q$ vrijedi nejednakost $$\left(p^2+p+1\right)\left(q^2+q+1\right) \geqslant 9pq \text{.}$$

%V0 U pravokutni trokut $ABC$ s duljinom hipotenuze $c$ i pripadnom visinom $h$ upisan je kvadrat $DEFG$ sa dva susjedna vrha $D$, $E$ na hipotenuzi $\overline{AB}$ i po jednim vrhom $F$ i $G$ na katetama $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$. Izračunajte duljinu $x$ stranice tog kvadrata i dokažite jednakost $\left\vert AD \right\vert \cdot \left\vert BE \right\vert = x^2$.

%V0 Dokažite identitet $$\frac{a_1}{a_2\left(a_1+a_2\right)} + \frac{a_2}{a_3\left(a_2+a_3\right)} + \cdots + \frac{a_n}{a_1\left(a_n+a_1\right)} = \frac{a_2}{a_1\left(a_1+a_2\right)} + \frac{a_3}{a_2\left(a_2+a_3\right)} + \cdots + \frac{a_1}{a_n\left(a_n+a_1\right)} \text{.}$$

%V0 Nađite sva realna rješenja jednadžbe $$\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}} - 2\sqrt{2x+3-4\sqrt{2x-1}} + 3\sqrt{2x+8-6\sqrt{2x-1}} = 4 \text{.}$$

%V0 Dokažite da postoji broj oblika $\overline{\ldots1995}$ djeljiv sa $1999$.

%V0 Dokažite da je izraz $$a^4-10a^2+9$$ djeljiv s $1920$ za svaki prosti broj $a > 5$.

%V0 Brojevi $a$, $b$, $c$, $d$ zadovoljavaju relaciju $a+b+c+d=0$. Neka je $S_1=ab+bc+cd$ i $S_2=ac+ad+bd$. Pokažite da je $$5S_1+8S_2 \leqslant 0 \qquad \text{i} \qquad 8S_1+5S_2 \leqslant 0 \text{.}$$

%V0 Zadan je konveksan peterokut $ABCDE$. Neka su $M$, $N$, $P$, $Q$ redom polovišta stranica $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DE}$ te neka su $R$ i $S$ polovišta dužina $\overline{MP}$ i $\overline{QN}$. Pokažite da je $$\left\vert SR \right\vert = \frac14 \left\vert AE \right\vert \text{.}$$

%V0 Četiri kružnice polumjera $a$ sa središtima u vrhovima kvadrata stranice duljine $a$, dijele taj kvadrat na devet područja. Odredite površinu svakog od pojedinih područja ako je dana površina $Q$ kvadrata, površina $K$ kruga polumjera $a$ i površina $T$ jednakostraničnog trokuta duljine stranice $a$.

%V0 Neka je $n$ prirodan broj. Nađite sva rješenja jednandžbe $$ | | \ldots |||x-1|-2|-3| - \ldots - (n-1)| - n| = 0\text{.}$$

%V0 Zadani su realni brojevi $a<b<c<d$. Odredite sve mogućnosti izbora brojeva $p$, $q$, $r$, $s$ za koje je $\{a,\,b,\,c,\,d\}=\{p,\,q,\,r,\,s\}$, a vrijednost izraza $$(p-q)^2+(q-r)^2+(r-s)^2+(s-p)^2$$ je najmanja.

%V0 Zadane su kružnica i tetiva koja dijeli njezinu nutrinu na dva kružna odsječka. U njih su upisane kružnice $k_1$ i $k_2$ koje iznutra diraju kružniuc $k$, i danu tetivu diraju u istoj točki s raznih njezinih strana. Dokažite da je omjer polumjera kružnica $k_1$ i $k_2$ konstantan, tj. da ne ovisi o položaju zajedničkog dirališta s tetivom.

%V0 Ne beskonačnom bijelom papiru podijeljenom na jednak kvadratiće neki od njih su obojeni crvenom bojom. U svakom $2 \times 3$ pravokutniku točno dva kvadratića su crvena. Promatrajte bilo koji $9 \times 11$ pravokutnik. Koliko u njemu ima crvenih kvadratića?

%V0 Što je veće $$A = \frac{2.00\ldots004}{(1.00\ldots004)^2 + 2.00\ldots004} \,\,\,\, \text{ili} \,\,\,\, B = \frac{2.00\ldots002}{(1.00\ldots002)^2 + 2.00\ldots002}\text{,}$$ gdje u svakom broju u brojniku i nazivniku ima po $1998$ nula?

%V0 Nađite sve prirodne brojeve $m$ i $n$ koji zadovoljavaju jednadžbu $$10(m + n)=mn\text{.}$$

%V0 Ivan i Krešo, pošli su istodobno iz Crikvenice u Kraljevicu, čija je udaljenost $15$ km, a Marko je u isto vrijeme krenuo iz Kraljevice u Crikvenicu. Sva trojica imala su jedan bicikl i put su prevaljivali pješačenjem brzinom od $5$ km/h ili biciklom brzinom $15$ km/h. Ivan je pošao pješice, dok je Krešo vozio bicikl sve dok se nije sreo s Markom. Tada je Krešo dao bicikl Marku i nastavio put prema Kraljevici pješice, a Marko je nastavio put prema Crikvenici biciklom. Kada je sreo Ivana dao mu je bicikl i ovaj je vozeći se stigao u Kraljevicu, dok je Marko pješice nastavio put do Crikvenice. Koliko vremena je svaki od njih trebao da dođe do svog cilja, koliko je pješačio, a koliko vozio bicikl?

%V0 Izračunajte površinu šrafiranog lika na slici ako stranica pravilnog šesterokuta ima duljinu $a$. [img attachment=1 width=200px]

%V0 kruznice $k_1$ i $k_2$ polumjera $r_1 = 6$ i $r_2 = 3$ dodiruju se izvana. obje kruznice dodiruju iznutra kruznicu $k$ polumjera $r = 9$. zajednica vanjska tangenta kruznica $k_1$ i $k_2$ sijece kruznicu $k$ u tockama $P$ i $Q$. izracunajte duljinu tetive $\overline{PQ}$.

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni relani brojevi takvi da je $a + b + c = 1$. Dokažite da vrijedi nejednakost $$\dfrac{a^3}{a^2 + b^2} + \dfrac{b^3}{b^2 + c^2} + \dfrac{c^3}{c^2 + a^2} \geq \dfrac{1}{2}\text{.}$$

%V0 dokazite da je za svaki $a \in <1,2>$ povrsina lika kojeg omeduju grafovi funkcija $y = 1 - |x - 1|$, te $y = |2x - a|$ manja od $\frac{1}{3}$

%V0 Dana je trojka $(a_1, a_2, a_3) = (3, 4, 12)$. Provodimo sljedeći postupak: biramo dva broja, $a_i$ i $a_j$, $(i \not= j)$, te ih zamijenimo sa $0.6a_i - 0.8a_j$ i $0.8a_i + 0.6a_j$. Može li se višekratnom primjenom gore opisanog postupka dobiti trojka $(2, 8, 10)$?

%V0 Riješite jednadžbu $$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{3}{z} = 1$$ u skupu prirodnih brojeva.

%V0 Kružnica upisana u trokut $ABC$ dodiruje njegove stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ u točkama $A_1$, $B_1$ i $C_1$. Izrazite kutove trokuta $A_1 B_1 C_1$ pomoću kutova trokuta $ABC$.

%V0 Neka je $m \geqslant 2$ prirodan broj. Koliko rješenja u skupu prirodnih brojeva ima jednadžba $$\left\lfloor{\vphantom{\frac{x}{m-1}}\frac{x}{m}}\right\rfloor = \left\lfloor{\frac{x}{m-1}}\right\rfloor \text{?}$$ ($\left\lfloor x \right\rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

%V0 Na raspolaganju su kovanice od $1$, $2$, $5$, $10$, $20$, $50$ lipa i od $1$ kune. Dokažite da ako se iznos od $M$ lipa može isplatiti pomoću $N$ kovanica, onda se iznos od $N$ kuna može isplatiti pomoću $M$ kovanica.

%V0 Za koje cijele brojeve $x$ je $2x^2 - x - 36$ kvadrat prostog broja?

%V0 Sjecište dijagonala kvadrata $ABCD$ je točka $S$, dok je točka $P$ polovište stranice $\overline{AB}$. Neka je $M$ sjecište dužina $\overline{AC}$ i $\overline{PD}$, a $N$ sjecište dužina $\overline{BD}$ i $\overline{PC}$. Četverokutu $PMSN$ upisana je kružnica. Dokažite da je njen polumjer jednak $\left\vert MP \right\vert - \left\vert MS \right\vert$.