Simulacija HMO 2019

Simulacija HMO 2019 zadatak 1

Neka je $n\ge2$ prirodan broj. Odredite sve funkcije $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ takve da za sve $x,y\in\mathbb{R}$ vrijedi $f(x-f(y))=f(x+y^n)+f(f(y)+y^n).$

Neka je $n\ge 2$ prirodan broj. Na kružnici se nalazi $2n+1$ točaka koje ju dijele na lukove jednake duljine. $Paniel$ i $Daleka$ naizmjenice brišu točke s kružnice, s tim da $Paniel$ počinje. Igrač pobjeđuje ako su poslije njegovog poteza svi trokuti koje čine preostale točke na kružnici tupokutni. Tko ima pobjedničku strategiju?

Simulacija HMO 2019 zadatak 3

Neka je $M$ polovište stranice $AC$ u šiljastokutnom trokutu $ABC$ u kojem vrijedi $AB>BC$ . Neka je $\Omega$ opisana kružnica trokuta $ABC$ . Tangenta na $\Omega$ u točkama $A$ i $C$ se sijeku u $P$ , a $BP$ i $AC$ se sijeku u $S$ . Neka je $AD$ visina u trokutu $ABP$ , a $\omega$ opisana kružnica trokuta $CSD$ . Pretpostavite da se $\omega$ i $\Omega$ sijeku u $K\not= C$ . Dokažite: $\angle CKM=90^\circ$ .

Simulacija HMO 2019 zadatak 4

Za fiksan prirodan broj $k \geq 2$ , odredite najveći mogući broj djelitelja kojeg broj $\binom{n}{k}$ može imati u skupu $\{n-k+1, n-k+2, \ldots, n\}$ , gdje je $n$ bilo koji prirodni broj $\ge k$ .

Simulacija HMO 2019 zadatak 1 (drugi dan)

Neka je $T$ konačan skup realnih brojeva sa sljedećim svojstvom: Za bilo koja dva elementa $t_1$ i $t_2$ u $T$ , postoji element $t_3$ u $T$ takav da su $t_1$ , $t_2$ , $t_3$ (ne nužno u tom poretku) tri uzastopna člana aritmetičkog niza. Odredite maksimalan mogući broj elemenata koji $T$ može imati.

Simulacija HMO 2019 zadatak 2 (drugi dan)

Na $m \times n$ pravokutnoj ploči, gdje su $m$ i $n$ neparni prirodni brojevi, su postavljena $1 \times 2$ i $2 \times 1$ domina tako da prekrivaju sva osim jednog kutnog polja ploče. Dozvoljeni potezi su: $\begin{itemize} \item Horizontalno pomaknuti $1 \times 2$ domino susjedan praznom polju na to prazno polje. \item Vertikalno pomaknuti $2 \times 1$ domino susjedan praznom polju na to prazno polje. \end{itemize}$ Dokažite da je moguće nizom takvih poteza postići da je bilo koje kutno polje ploče prazno.

Simulacija HMO 2019 zadatak 3 (drugi dan)

Neka je $ABCD$ konveksan četverokut takav da $AD$ nije paralelno s $BC$ . Neka je $E$ presjek njegovih dijagonala, a $F$ presjek pravaca $AD$ i $BC$ . Pretpostavimo da u unutrašnjosti $ABCD$ postoji točka $P$ takva da njezine projekcije na stranice $ABCD$ čine pravokutnik. Neka je opisana kružnica tog pravokutnika $k$ . $M$ i $N$ su sjecišta $k$ s $AD$ i $BC$ , redom. $G$ je presjek tangenta na $k$ u $M$ i $N$ . Dokažite da $G$ leži na pravcu $EF$ .

Simulacija HMO 2019 zadatak 4 (drugi dan)

Odredite sve trojke prirodnih brojeva $(a, b, c)$ takve da vrijedi $a^2 + 2^{b+1} = 3^c.$

Simulacija HMO 2019 zadatak 1 (treći dan)

Neka su $a,b,c,d,e,f$ positivni realni brojevi. Ako je $def+de+ef+fd=4$ , dokažite da vrijedi $((a+b)de+(b+c)ef+(c+a)fd)^2 \geq\ 12(abde+bcef+cafd).$

Simulacija HMO 2019 zadatak 2 (treći dan)

Na ploči je zapisano $10$ uzatopnih prirodnih brojeva. Dozvoljen potez je odbrati dva broja napisana na pločim, nazovimo ih $a$ i $b$ , i zamijeniti ih s brojevima $a^2-2019b^2$ i $ab$ . Nakon nekog broja poteza, na ploči nema niti jednog broja koji je inicijalno bio zapisan na njoj. Je li moguće da se u tom trenutku na ploči ponovno nalazi $10$ uzastopnih prirodnih brojeva?

Simulacija HMO 2019 zadatak 3 (treći dan)

Neka su $I$ i $H$ središte upisane kružnice i ortocentar trokuta $ABC$ , redom. Neka su $P$ i $Q$ polovišta stranica $AB$ i $AC$ , redom. Pravci $PI$ i $QI$ sijeku pravce $AC$ i $AB$ u točkama $R$ i $S$ , redom. Neka je $T$ središte opisane kružnice trokuta $BHC$ . Pravac $RS$ siječe dužinu $BC$ u točki $K$ . Dokažite: $A,I$ i $T$ su kolinearne ako i samo ako trokuti $BKS$ i $CKR$ imaju jednake površine.

Simulacija HMO 2019 zadatak 4 (treći dan)

Neka je $p$ prost broj, $n$ prirodan broj, i $\mathbb{Z}_{p^n}$ skup ostataka modulo $p^n.$ Odredite broj funkcija $f: \mathbb{Z}_{p^n} \to \mathbb{Z}_{p^n}$ za koje vrijedi $f(a)+f(b) \equiv f(a+b+pab) \pmod{p^n}$ za sve $a,b \in \mathbb{Z}_{p^n}.$

Simulacija HMO 2019 zadatak 1 (četvrti dan)

Dan je beskonačan niz realnih brojeva $\{ a_n \}_{n \ge 0}$ takav da je $a_n \ge n^2$ za svaki $n \ge 0$ . Za sve $i \ge j \ge 0$ postoje $k \ge l \ge 0$ takvi da vrijedi:
(1) $(i,j) \neq (k,l)$
(2) $i - j = k - l$
(3) $a_i - a_j = a_k - a_l$ .
Dokažite da postoji $N \ge 0$ takav da vrijedi $a_N \ge (N + 2019)^2$ .

Simulacija HMO 2019 zadatak 2 (četvrti dan)

U grupi od $n$ učenika, neki su prijatelji (prijateljstvo je uzajamno). Neku su $a, b$ minimalni prirodni brojevi koji zadovoljavaju sljedeće uvjete:
(1) Možemo podijeliti učenike u $a$ timova tako da su unutar svake grupe svi bilo koja dva učenika prijatelji.
(2) Možemo podijeliti učenike u $b$ timova tako da su unutar svake grupe svi bilo koja dva učenika nisu prijatelji.
Odredite maksimalnu moguću vrijednost $N = a+b$ , u ovisnosti o $n$ .

Simulacija HMO 2019 zadatak 3 (četvrti dan)

Neka je $O$ središte opisane kružnice šiljastokutnog trokuta $ABC$ , u kojem vrijedi $AC < AC$ . Simetrala kuta $\angle BAC$ sječe stranicu $BC$ u točki $T$ . $M$ je polovište dužine $AT$ . $P$ je točka u unutrašnjosti trokuta $ABC$ takva da je $PB\perp PC$ . $D,E$ su točke koje leže na okomici iz $P$ na $AP$ takve da vrijedi $BD=BP$ i $CE=CP$ . Ako $AO$ raspolavlja dužinu $DE$ , dokažite da je $AO$ tangenta na opisanu kružnicu trokuta $AMP$ .

Simulacija HMO 2019 zadatak 4 (četvrti dan)

Na kružnici je zapisano $n \ge 2$ prirodnih brojeva $a_1, a_2, \dots a_n$ takvih da vrijedi $gcd(a_1, a_2, \dots, a_n) = 1$ . Dozvoljena operacija je dodati nekom broju najveći zajednički djelitelj njegovih susjeda. Dokažite da je moguće u konačno mnogo operacija postići da su svi brojevi na kružnici u parovima relativno prosti.