Školjka

%V0 Neka je $f(x)=x^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + a_0$ polinom s realnim koeficijentima takav da je $|f(0)|= f(1)$, pri čemu je za svaki njegov korijen $\alpha$, $0<\alpha<1$. Dokažite da produkt svih korijena nije veći od $\frac{1}{2^n}$.

%V0 Za svaki prirodan broj $n$ određeni su cijeli brojevi $a_n$ i $b_n$ tako da je $$ (1+\sqrt{2})^{2n+1}=a_n+b_n \sqrt{2}.$$ a) Dokažite da su $a_n$ i $b_n$ neparni za svaki $n$. b) Dokažite da je $b_n$ hipotenuza pravokutnog trokuta čije su katete $$ \frac{a_n+(-1)^n}{2}, \ \frac{a_n-(-1)^n}{2}. $$

%V0 Na stranicama $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ izabrane su točke $A_1, B_1, C_1$ pri čemu se pravci $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ sijeku u jednoj točki. Dokažite da se pravci $AA_2$, $BB_2$, $CC_2$, simetrični danim pravcima u odnosu na odgovarajuće simetrale kutova, također sijeku u jednoj točki.

%V0 Dan je prirodan broj $n$. Neka je $S(n)$ skup kompleksnih brojeva na jediničnoj kružnici u kompleksnoj ravnini sa središtem u točki $z=0$ koji zadovoljavaju sljedeću jednakost $$ \left( z+\frac{1}{z} \right)^n=2^{n-1} \left( z^n+\frac{1}{z^n} \right).$$ a) Odredite skup $S(n)$ za $n=2,3,4,5$. b) Odredite gornju granicu (ovisnu o $n$) za broj elemenata skupa $S(n)$.

%V0 Kroz zadanu točku $P$ na nekoj stranici trokuta $ABC$ konsturiraj pravac koji će trokut podijeliti na dva dijela jednake površine.

%V0 Odredite najmanju vrijednost zbroja $|AP|+|BP|+|PQ|+|CQ|+|DQ|$, gdje su $P$ i $Q$ točke unutar jediničnog kvadrata $ABCD$.

%V0 Pravci $p_1, p_2, \ldots, p_n$ u ravnini su u općem položaju (nikoja dva nisu paralelna i nikoja tri se ne sijeku u istoj točki). Može li se svakom od sjecišta dvaju pravaca pridružiti jedan broj iz skupa $\{1,2, \ldots n \}$ tako da na svakom pravcu budu svi brojevi $1,2, \ldots, n-1$ ako je a) $n=1998$, b) $n= 1999$?

%V0 Neka su $M$ i $N$ sjecišta simetrala kutova $\angle ABC$ i $\angle ACB$ sa stranicama trokuta $\overline{AC}$ i $\overline{AB}$ trokuta $ABC$. Polupravac $MN$ siječe trokutu opisanu kružnicu u točki $D$. Dokažite da je $$ \frac{1}{|BD|} = \frac{1}{|AD|}+ \frac{1}{|CD|} .$$

%V0 Neka je $\{ F_i \}$, $i=0,1, \ldots $ niz brojeva definiran na sljedeći način: $$ F_0=0, \ F_1=1,\ F_{i+2}=F_{i+1}+F_{i}, \ i=0,1, \ldots$$ Za prirodan broj $n \geq 2$ neka su $a_0, a_1, \ldots a_n$ nenegativni brojevi koji zadovoljavaju uvjet $$ a_0=1, \ a_i \leq a_{i+1} + a_{i+2}, \ i=0,1, \ldots, n-2. $$ Dokažite da je $a_0+a_1+\ldots+a_n \geq \frac{F_{n+2}-1}{F_{n}}$. Da li se postiže jednakost?

%V0 Niz $\{ a_n \} $ je zadan na ovaj način: $$ a_0=0, \ a_1=1, \ a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}, \ n>1.$$ Dokažite da $2^k$ dijeli $a_n$ ako i samo ako $2^k$ dijeli $n$.

%V0 Neka je $ABC$ šiljastokutan trokut s polumjerom opisane kružnice $R=1$ i polumjerom upisane kružnice $r$. Nadalje, $A'$, $B'$, $C'$ su nožišta visina trokuta $ABC$, a $p$ je polumjer trokutu $A'B'C'$ upisane kružnice. Dokažite da je $$ p \leq 1 - \frac{1}{3} (1+r)^2.$$

%V0 Neka je $S$ skup svih nizova $(a_1, a_2, \ldots, a_7)$, pri čemu je $a_i=0$ ili $a_i=1$ za svaki $i=1, \ldots 7$. Udaljenost $d$ između dva elementa $(a_1, a_2, \ldots, a_7)$ i $(b_1, b_2, \ldots, b_7)$ iz skupa $S$ definiramo kao $\sum_{i=1}^{7} {|a_i-b_i|}$. Skup $T$ je podksup skupa $S$ takav da je udaljenost između svaka dva njegova elementa $d \geq 3$. Koliko najviše elemenata može imati skup $T$?

%V0 U trokutu $ABC$ dane su točke $D, E, F$ na stranicama $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ tako da je $|AF|=\frac{1}{n}|AB|$, $|BD|=\frac{1}{n}|BC|$, $|CE|=\frac{1}{n}|CA|$. Pravci $AD, BE, CF$ sijeku se u točkama $G, H, I$. Pokažite da je površina trokuta $GHI$ jednaka $$ P_{GHI} = \frac{(n-2)^2}{n^2-n+1} P_{ABC} .$$

%V0 Ako je $p>2$ prost broj, dokažite da je $\lfloor (2+\sqrt{5})^p \rfloor - 2^{p+1}$ djeljiv s $p$.

%V0 Neka je $F_n=x^n \sin nA + y^n \sin nB + z^n \sin nC$, gdje su $x, y, z, A, B, C$ realni brojevi takvi da je $A+B+C=\pi$. Ako je $F_1=F_2=0$, dokažite da je $F_n=0$ za svaki prirodni broj $n$.

%V0 Duljina stranice kvadrata $ABCD$ je jednaka $a$. Dvije točke $E$ i $F$ su izabrane na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ tako da je $\angle EDF = 45 ^o$. Ako je $r$ polumjer upisane kružnice trokutu $EFB$, pokaži da je $r+|EF|=a$.

%V0 Nađite sve parove uzastopnih pozitivnih cijelih brojeva čija je razlika kubova jednaka kvadratu cijelog broja.

%V0 Neka je $n>1$ neparan cijeli broj pri čemu postoje cijeli brojevi $x_1, x_2, \ldots x_n \geq 0$ koji zadovoljavaju jednadžbe $$ (x_2-x_1)^2+2(x_2+x_1)+1=n^2$$ $$ (x_3-x_2)^2+2(x_3+x_2)+1=n^2$$ $$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $$ $$ (x_1-x_n)^2+2(x_1+x_n)+1=n^2$$ Pokažite da je ili $x_1=x_n$ ili postoji $j, \ 1 \leq j \leq n-1$ takav da je $x_j=x_{j+1}$.